散性

無法判定級(jí)數(shù)的斂散性.根據(jù)比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法)可得，當(dāng)0≤a1時(shí)，此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)a=1時(shí)，此級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.(2)當(dāng)a=1時(shí)，有根據(jù)拉貝判別法的極限形式可得，當(dāng)-b>1，即b<-1時(shí)，此級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)-b-1時(shí)，此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)b=-1時(shí)，無法判定級(jí)數(shù)的斂散性.證畢.(3)則級(jí)數(shù)發(fā)散.證明設(shè)c=-m(m+1)由此可得，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有(4)當(dāng)c-m(m+1).記綜上所述，結(jié)論成立.證畢.利用定理1、定理3，我們可獲得：(5)利用洛必

就是無窮級(jí)數(shù)的斂散性問題。一、無窮級(jí)數(shù)斂散性的判別法及其局限性(一)利用部分和數(shù)列的極限情況判別在前面“一尺之錘”的例子中，要計(jì)算一直取下去，所取得的木棒長度，我們可以先計(jì)算取了天后，所得的木棒長度，則:顯然以，，……為項(xiàng)，構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列{}，該數(shù)列稱之為部分和數(shù)列。當(dāng)→∞時(shí)，有→1，這也就意味著當(dāng)木棒一直取下去，所取得的木棒總長度無限接近于1。即：在運(yùn)用基本判別法討論無窮級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，要求出前項(xiàng)和，我們經(jīng)常會(huì)用到一種方法“拆項(xiàng)相消”。但是這種方法只適用于

朱立無窮乘積的斂散性朱立（上海立信會(huì)計(jì)金融學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 201209）對無窮乘積的斂散性進(jìn)行了研究．給出了無窮乘積與相應(yīng)的無窮級(jí)數(shù)之間斂散性的關(guān)系，并以此得到了無窮乘積斂散性的判別法．無窮乘積；無窮級(jí)數(shù)；收斂1　引言及預(yù)備知識(shí)對無窮乘積的研究一直都是分析學(xué)中的重要內(nèi)容[1-4]，文獻(xiàn)[5-10]對無窮乘積斂散性的判別進(jìn)行了研究．本文探索無窮乘積與對應(yīng)的無窮級(jí)數(shù)之間斂散性的關(guān)系，得到了無窮乘積斂散性的判別法．2　主要結(jié)果及證明[1] 唐建國．無

是對正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性理論有較為深入的探討。本文的主要工作是對無窮乘積的斂散性做一些基本研究，這部分內(nèi)容在現(xiàn)有教材中沒有涉及，相關(guān)文獻(xiàn)[2-4]討論的也不夠具體。作為和無窮級(jí)數(shù)相對應(yīng)的一種形式，無窮乘積在許多場合都會(huì)遇到，因此一個(gè)較為本質(zhì)的闡述有助于更好地理解無窮乘積的有關(guān)特征。1 無窮乘積斂散性的概念關(guān)于無窮乘積斂散性的基本概念，在不同的教材或講義中說法不同，但本質(zhì)上是一樣的，本文的定義主要參考文獻(xiàn)[5]。定義1給定數(shù)列，稱為無窮乘積。為了更好地刻畫無窮乘

PJ 迭代法的斂散性。其中：3 數(shù)值算例4 結(jié)語由于高階2PPJ 迭代法的迭代矩陣形式較為復(fù)雜，計(jì)算麻煩，因此直接要判別其斂散性是比較困難的。 故本文就預(yù)條件作用前后高階2PPJ 迭代法的斂散性進(jìn)行討論，證明了當(dāng)線性方程組滿足給定條件時(shí)(系數(shù)矩陣為不含零元素且具有單位對角元素的L-矩陣)，基于預(yù)條件矩陣P=I+S 構(gòu)造一類預(yù)條件矩陣P1=I+S1，討論了在此預(yù)條件矩陣下Jacobi 迭代法的斂散性，進(jìn)而得到了預(yù)條件矩陣P1=I+S1高階2PPJ 迭代法的斂

一些余弦級(jí)數(shù)的斂散性.二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定引理設(shè){yn}為一個(gè)有界數(shù)列.?ε>0，?N∈Z+，當(dāng)n>N時(shí)，不等式|yn-yn-1|一個(gè)收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成級(jí)數(shù)仍然收斂，其逆命題不成立.但是有下面的定理：(a1+a2+…+an1)+(an1+1+an1+2+…+an2)+…+(ank+1+ank+2+…+ank+1)+…,|Sn|=|bn1+bn2+…+bnk0+(ank0+1+ank0+2+…+an)|從而該級(jí)數(shù)有界.利用引理的推論可得結(jié)論.證畢.

公式在正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定中的應(yīng)用級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式可由不同類型的函數(shù)表達(dá)式所構(gòu)成，而函數(shù)的表達(dá)式又非常復(fù)雜與繁瑣，這時(shí)，可利用泰勒公式來簡化級(jí)數(shù)，讓運(yùn)算過程更加簡便。例5 討論級(jí)數(shù)的斂散性解 利用泰勒公式展開，有2.4 泰勒公式在廣義積分的斂散性中的應(yīng)用在判斷廣義積分的斂散性時(shí)也可以利用泰勒公式進(jìn)行判斷，達(dá)到簡化運(yùn)算過程的效果。2.5 泰勒公式在求高階導(dǎo)數(shù)及含有高階導(dǎo)數(shù)的有關(guān)證明中的應(yīng)用2.5.1 泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)由于函數(shù)在某一點(diǎn)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式

06)0 引言斂散性是數(shù)列的基本性質(zhì),收斂于0的數(shù)列稱為無窮小數(shù)列(發(fā)散于∞或+∞,-∞的數(shù)列稱為無窮大數(shù)列).無窮小數(shù)列在收斂數(shù)列中扮演重要的角色,它對于研究數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性起著基礎(chǔ)性的作用.通行的數(shù)學(xué)分析教科書(文[1,3,5]等)都用專門的章節(jié)介紹數(shù)列的收斂性(包括極限的存在性與計(jì)算),主要的方法有定義法,柯西收斂準(zhǔn)則,單調(diào)有界定理,兩邊夾定理等.我們知道,研究一般數(shù)列收斂性的方法都可以用來研究無窮小數(shù)列.然而,我們發(fā)現(xiàn),對于無窮小數(shù)列的介紹和研究還

討論抽象函數(shù)的斂散性時(shí)，往往不能像具體函數(shù)那樣明確知道函數(shù)本身的極限是否存在，判定難度很大。2 理論基礎(chǔ)準(zhǔn)備當(dāng)定理1 中進(jìn)行極限計(jì)算的兩個(gè)函數(shù)極限不存在時(shí)（包括極限均為無窮大的情況），四則運(yùn)算法則是不適用的。3 極限四則運(yùn)算法則在抽象函數(shù)斂散性判定方面的應(yīng)用在這一小節(jié)對四則運(yùn)算法則的適用范圍做了推廣,將四則運(yùn)算法則中要求的參與運(yùn)算的各部分函數(shù)極限必須都存在這一條件，推廣至只需在確定部分函數(shù)極限存在的情況下就可以對最終函數(shù)的斂散性做出判斷。定理2 也表明，當(dāng)

限運(yùn)算、級(jí)數(shù)的斂散性判斷以及不等式證明、近似計(jì)算中的簡單應(yīng)用。關(guān)鍵詞：泰勒中值定理? 泰勒公式中圖分類號(hào)：O151.21? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-1578（2020）01-0031-023? ?結(jié)語泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的工具，通過本文可以看出它在極限運(yùn)算、級(jí)數(shù)的斂散性判斷、不等式的證明、近似計(jì)算等方面都有著重要的應(yīng)用。因此，掌握和理解泰勒公式有一定的重要意義，同時(shí)對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也有一定的幫助。

一些正弦級(jí)數(shù)的斂散性.2 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判定引理[1]設(shè){yn}為一個(gè)有界數(shù)列.?ε>0，?N∈Z+，當(dāng)n>N時(shí)，不等式|yn-yn-1|恒成立，則數(shù)列{yn}收斂.一個(gè)收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成級(jí)數(shù)仍然收斂，其逆命題不成立[2，3].但是有下面的定理：(a1+a2+…+an1)+(an1+1+an1+2+…+an2)+…+(ank+1+ank+2+…+ank)+…,M=max{nk+1-nk|k=1,2,3,…}<.|Sn|=|bn1+bn2+…+bnk

解.判斷級(jí)數(shù)的斂散性的方法非常多樣，在考研競賽題中，級(jí)數(shù)問題往往是以綜合性較高、方法多樣的類型呈現(xiàn)，并且級(jí)數(shù)問題同它的通項(xiàng)數(shù)列的性質(zhì)密切相關(guān).通過對通項(xiàng)為an+1=f（an）型的級(jí)數(shù)問題進(jìn)行研究，可以幫助我們解決一些用常規(guī)方法難以解決的級(jí)數(shù)問題，加深我們對級(jí)數(shù)理論的深入理解.[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 遞推數(shù)列;級(jí)數(shù);斂散性;和函數(shù)[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)]? 2096-06

是判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性一種非常方便和常用的方法，這種方法對某些級(jí)數(shù)斂散性的判別卻是無效的.主要通過舉例說明達(dá)朗貝爾判別法失效的兩種情況，給出了判別這類級(jí)數(shù)斂散性的一些方法和思路.[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 正項(xiàng)級(jí)數(shù);達(dá)朗貝爾判別法;斂散性;失效[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）32-0056-02無窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一

判斷廣義積分的斂散性的方法，大大簡化了求極限和判斷廣義積分的斂散性的過程。用這種方法還可以簡化判斷級(jí)數(shù)的斂散性的過程。關(guān)鍵詞：無窮小階極限斂散性一、“階”的概念及其推廣高等數(shù)學(xué)中“階”的概念是在學(xué)習(xí)“無窮小的比較”這一內(nèi)容時(shí)用極限概念引入的，無窮小階”的概念反映了在自變量的變化過程中，變量趨近于0的快慢程度。以下是許多《高等數(shù)學(xué)》教材中“階”的初步概念。定義1：設(shè) 、 是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小。（1）如果 ，則稱 是比 高階的無窮小記作（2）如果 ，則

以，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別尤其重要.在高等數(shù)學(xué)課程中判斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法有很多，如利用級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念、利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)、利用比值審斂法、利用萊布尼茨定理[1]265等等.每種方法也都有自己的使用條件和使用范圍,例如，比值審斂法只適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，而萊布尼茨定理只適用于交錯(cuò)級(jí)數(shù).但是，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)員在判斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，他們不考慮判別法則成立的條件，誤用、亂用情況經(jīng)常發(fā)生.為了幫助學(xué)員掌握并能熟練應(yīng)用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法

要]? 級(jí)數(shù)斂散性的判定是數(shù)學(xué)分析課程中的重要內(nèi)容和教學(xué)難點(diǎn)，通過實(shí)例討論函數(shù)滿足二階導(dǎo)數(shù)且通項(xiàng)中帶f（）形式的一類級(jí)數(shù)的斂散性判定.[關(guān)??? 鍵?? 詞]? 二階導(dǎo)數(shù);級(jí)數(shù);斂散性[中圖分類號(hào)]? G642????????????? ????? ???[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A??????????????? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2019）34-0026-02一、定理及推論本文主要討論滿足二階導(dǎo)數(shù)的級(jí)數(shù)斂散性判定，重點(diǎn)分析通項(xiàng)中帶f（）的斂散

要地位。數(shù)列的斂散性判斷是極限問題研究的基礎(chǔ)，許多學(xué)者長期致力于研究該問題，并給出了一些數(shù)列的判定方法［1-4］。然而數(shù)列形式多樣，其斂散性的判斷沒有固定模式。本文對常見數(shù)列形式及已知條件進(jìn)行分析，對其相應(yīng)斂散性的判斷方法作分類研究與總結(jié)，并結(jié)合具體實(shí)例來說明相應(yīng)方法的有效性。1 判定方法1.1 “ε-N”定義［5，6］注：（1）用此方法的重點(diǎn)在于N的選取，N一旦存在，數(shù)列即收斂；（2）可根據(jù)“ε-N”定義的否定形式去判斷數(shù)列的發(fā)散；（3）定義法相對比較復(fù)

四、無窮級(jí)數(shù)的斂散性判斷類似于無窮級(jí)數(shù)斂散性判斷需要判斷{sn}是否收斂，函數(shù)能否展開成泰勒級(jí)數(shù)也要依賴于對應(yīng)泰勒公式的余項(xiàng)當(dāng)n→∞時(shí)是否極限為零。內(nèi)容相似，篇幅有限，不再列舉贅述。極限思想源遠(yuǎn)流長，它使人們的認(rèn)識(shí)從有限上升到無限、從近似上升到精確、從量變上升到質(zhì)變，滲透在整個(gè)高等數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)中，使各知識(shí)模塊之間發(fā)生千絲萬縷的聯(lián)系，學(xué)好極限，熟練掌握極限思想，不但能幫助學(xué)生串聯(lián)整個(gè)知識(shí)體系，學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門專業(yè)基礎(chǔ)課，同時(shí)對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也大有裨

，判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性定理很多，比如，柯西收斂準(zhǔn)則、比較審斂法、比較審斂法的極限形式、達(dá)朗貝爾判別法等。應(yīng)用比較審斂法的極限形式時(shí)，遇到最大的困難是要找到一個(gè)可以與所求級(jí)數(shù)進(jìn)行比較的級(jí)數(shù)。由級(jí)數(shù)收斂的必要條件我們知道，只要級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)在 時(shí)的極限不是0，即一般項(xiàng)不是 的無窮小，級(jí)數(shù)必發(fā)散，因此我們所需處理是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是 的無窮小的情形。對于此情形的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，該文利用同階無窮小給出了一種簡單有效的求比較級(jí)數(shù)的方法，為利用比較

此，廣義積分的斂散性判別顯得十分重要。一、無窮區(qū)間上的廣義積分（1）定義設(shè)函數(shù)f（x）在[a，+∞）上有定義，對？b>a，記柯西極限判別法用極限的形式研究了廣義積分的斂散性，為我們提供了很好的判別方法，非常值得推廣運(yùn)用。（作者單位：河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）參考文獻(xiàn)：[1]白水周.無窮限廣義積分的幾種有效解法[J].開封大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，14（1）：49-50.[2]李紹成.論廣義積分的計(jì)算[J].綿陽農(nóng)專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1996，13（2）：65-70.

判別其收斂性或發(fā)散性有很多方法，如達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法，拉貝判別法與對數(shù)判別法[1]，或?qū)⑦_(dá)朗貝爾判別法及柯西判別法結(jié)合起來得到新的判別法，如D-C判別法[2]和Z判別法[3].這些方法從不同角度探討了如何判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.本文針對達(dá)朗貝爾判別法的不足，提出了一種改進(jìn)的p-達(dá)朗貝爾判別法，并證明了p-達(dá)朗貝爾判別法與柯西判別法的關(guān)系，最后給出了相關(guān)的例子進(jìn)行了驗(yàn)證.在判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，這兩種方法經(jīng)常要用到.但是，柯西判別法的適用范圍要比達(dá)朗

9）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的重點(diǎn),為了更好判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,給出了正項(xiàng)級(jí)數(shù)一種新的審斂法。正項(xiàng)級(jí)數(shù);比值審斂法;根值審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂判斷方法有很多種,文中在比較判別法的基礎(chǔ)上,將比值審斂法和根值審斂法進(jìn)行推廣得到一種新的判別方法。則:(1)當(dāng)r＜1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng)r＞1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)當(dāng)r=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。則:(1)當(dāng)r＜1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng)r＞1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)當(dāng)r=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。下面由這兩個(gè)

等價(jià)性判斷函數(shù)斂散性廖春艷（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖南 永州 425199）文章主要介紹在數(shù)學(xué)分析中巧用等價(jià)函數(shù)判斷函數(shù)的斂散性問題，恰當(dāng)?shù)囊氲葍r(jià)的函數(shù)來判斷函數(shù)的斂散性，只需要一些簡單的步驟即可判斷出結(jié)果且不容易出錯(cuò)。等價(jià)代換；無窮級(jí)數(shù)；反常函數(shù)；斂散性函數(shù)的等價(jià)判別法是一種思路靈活、應(yīng)用廣泛的解題方法，它通過對題中給出的已知條件進(jìn)行函數(shù)等價(jià)變換、調(diào)整，使得函數(shù)關(guān)系，性質(zhì)更加明確，清晰，從而使得問題得到順利解決。1　利用等價(jià)性判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散

6023）級(jí)數(shù)斂散性的判定研究劉慶濤 （大連電子學(xué)校，遼寧 大連 116023）級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散是微積分學(xué)重要內(nèi)容之一，它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用性。然而對于級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散的判定是學(xué)習(xí)者們普遍感到困惑的，在具體教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上，對正項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性進(jìn)行分析、研究和總結(jié)，給出了特殊情況下級(jí)數(shù)斂散性的判定方法，使學(xué)習(xí)者能夠得心應(yīng)手解決斂散性問題。正項(xiàng)級(jí)數(shù)；交錯(cuò)級(jí)數(shù)；斂散性1　正項(xiàng)級(jí)數(shù)1.1比較判別法在運(yùn)用比較判別法判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，常用的技巧是利用不等

斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性并進(jìn)一步求和.冪級(jí)數(shù)；常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；斂散性；和函數(shù)一、用冪級(jí)數(shù)判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法有很多.有的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以用定義法，即通過求解部分和數(shù)列{Sn}的極限來判斷；有的可以運(yùn)用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)來判斷.對于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，又有很多不同的判斷方法，例如比較判別法、比值判別法、積分判別法、對數(shù)判別法、高斯判別法等等.還有交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法.對于某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，這些方法都無法判斷其斂散性，而通過冪級(jí)數(shù)展開式可以將原級(jí)數(shù)化成比較容易判

證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性，并在萊布尼茲審斂法失效時(shí)，補(bǔ)充了判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的方法，同時(shí)給出了本方法的應(yīng)用.交錯(cuò)級(jí)數(shù)；萊布尼茲審斂法；收斂準(zhǔn)則0 引言當(dāng) un＞0（n=1，2，…），形如的級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).當(dāng)上述交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足萊布尼茲條件時(shí)，稱此級(jí)數(shù)為萊布尼茲型級(jí)數(shù).關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的判別，一般微積分教材僅有萊布尼茲判別法，其內(nèi)容如下：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下述條件：則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.然而，在我們長期學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)，驗(yàn)證萊布尼茲定理的上述兩個(gè)條件很復(fù)雜，于是本文提出了幾

判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性更是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的核心內(nèi)容。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧。本文歸納總結(jié)了幾種常用的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂法，比較了這些方法的不同點(diǎn)，總結(jié)了幾種方法各自的特點(diǎn)與適用范圍，便于學(xué)習(xí)者節(jié)約時(shí)間，提高效率。正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂 發(fā)散無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具［1］。而數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)又是無窮級(jí)數(shù)的一個(gè)重要組成部分，正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是其中很重要的一類。因?yàn)樵S多數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都是通過將其化成正項(xiàng)級(jí)數(shù)

課程中正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別方法淺析關(guān)璐（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特 0 10070）0　引言正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法包括定義、比較判別法、根值判別法，比值判別法以及相關(guān)定理等很多方法。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)了正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法后，感覺到判別方法太多、太難，從而漸漸的失去了學(xué)習(xí)興趣。因此，結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，針對高等數(shù)學(xué)教學(xué)中正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別這部分知識(shí)提出一些教學(xué)方案，對提高高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣具有重要意義。1　利用定義判別正項(xiàng)

艷輝?反常積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性的L′ Hospital判別法趙艷輝(湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系,湖南永州, 425100)根據(jù)L′ Hospital法則, 運(yùn)用反常積分比較判別法, 討論了無窮區(qū)間反常積分的L′ Hospital判別法。反常積分; 斂散性; 冪函數(shù); L′ Hospital法則1 有關(guān)引理及定義引理1 已知新冪函數(shù)有連續(xù)單調(diào)的導(dǎo)數(shù), 則有如下性質(zhì): (1) 零冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在無窮處單調(diào)遞減; (2) 冪指數(shù)小于1的有冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在無窮處單調(diào)遞減; (

5）判別級(jí)數(shù)的斂散性方法比較多，將級(jí)數(shù)一般項(xiàng)或者部分和進(jìn)行放縮，借助經(jīng)放縮后級(jí)數(shù)的斂散性來判斷原級(jí)數(shù)的斂散性，是其中方法之一。而函數(shù)的單調(diào)性、曲線的凹凸性都可用于證明不等式，下面筆者將利用函數(shù)單調(diào)性、曲線的凹凸性來判斷一類級(jí)數(shù)的斂散性。1 基本概念定義1［1］設(shè)f（x）在區(qū)間Ⅰ上連續(xù)，如果對Ⅰ上任意2點(diǎn)x1、x2恒有：則稱f（x）在區(qū)間Ⅰ上的圖形是凸的。如果恒有：則稱f（x）在區(qū)間Ⅰ上的圖形是凹的。引理1［1］設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具

分和無窮級(jí)數(shù)的斂散性目前有比較判別法、比較判別法的極限形式、阿貝爾判別法及狄利克雷判別法、對數(shù)判別法，比值判別法和拉貝判別法等[1-4]. 但最常用的方法還是比較審斂法，即將待判定函數(shù)與冪為-p的冪函數(shù)比較大小，視p與1的序關(guān)系來判定其斂散性，這就需要知道對數(shù)函數(shù)在不同的定義域內(nèi)與何種冪函數(shù)有確定的序關(guān)系.到目前為止這種序關(guān)系還沒有在文獻(xiàn)及教材中查到，人們解決這類問題，還只能用試探的方式去尋找，這既影響了解題速度，也加大了解題難度.為此本文給出并證明了對數(shù)

廣義積分和級(jí)數(shù)斂散性的判別、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算等方面的應(yīng)用，拓寬了泰勒公式的應(yīng)用范圍，展現(xiàn)了泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的重要地位，拓廣了高等數(shù)學(xué)問題的解題方法及技巧。泰勒公式；極限；微分方程；斂散性；高階導(dǎo)數(shù)泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式,也是求解高等數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具。然而，在高等數(shù)學(xué)教材中，一般只講泰勒公式和幾個(gè)常用函數(shù)的麥克勞林公式，對其在解題中的應(yīng)用很少介紹。對某些未定式的極限來說，運(yùn)用泰勒公式比使用洛比達(dá)法則更方便。泰勒公式對某些微分方程求解、廣義

公式在一類級(jí)數(shù)斂散性判斷中的應(yīng)用杜厚維,陳忠 (長江大學(xué)一年級(jí)教學(xué)工作部,湖北荊州 434025)對一類不滿足萊布尼茲判別法的交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用Taylor公式將其一般項(xiàng)進(jìn)行分離,然后基于各分解項(xiàng)的斂散性判斷原級(jí)數(shù)的斂散性,最后利用算例說明該方法的有效性。Taylor公式;數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);斂散性對于交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判斷,《高等數(shù)學(xué)》課程重點(diǎn)介紹了萊布尼茲定理[1-3],而對于不滿足萊布尼茲定理?xiàng)l件的交錯(cuò)級(jí)數(shù),往往用級(jí)數(shù)收斂的定義或借助絕對收斂來判斷。下面,筆者將運(yùn)用

。首先，級(jí)數(shù)的斂散性是通過其前n項(xiàng)和的極限是否存在來定義的；其次，級(jí)數(shù)收斂的必要條件是通項(xiàng)的極限，即un是一個(gè)無窮小量；還有后面正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的各種判定方法也與極限有關(guān)。這里，我們重點(diǎn)討論一下正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，這種方法學(xué)生掌握起來比較困難，不知如何下手去找作為參考的級(jí)數(shù)。在此，我們介紹通過無窮?。ù螅┝糠治龅姆椒ǎ秒A的估計(jì)來尋找參考級(jí)數(shù)，從而判斷級(jí)數(shù)的斂散性，方法簡單實(shí)用。1 一般教材中介紹的比較判別法的兩種形式簡單來說就是“大的收斂

所有正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性. 有關(guān)拉貝判別法極限形式的推廣及應(yīng)用將另文討論.2 應(yīng)用實(shí)例這樣，?N0∈N+使對?n>N0均有:故由推論2、推論3和推論4均可得已知級(jí)數(shù)是發(fā)散.參考文獻(xiàn)：[1]楊鐘玄.擬Raabe判別法與擬對數(shù)判別法的強(qiáng)弱關(guān)系[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008,24(1)：187-190.[2]李亞蘭.正項(xiàng)級(jí)數(shù)拉阿伯判別法等價(jià)形式及其應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011,27(4)：192-195.[3]唐翠娥.級(jí)數(shù)斂散性的拉阿貝判別法的推廣[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2

，對于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別，通常我們總是先判定它是否是絕對收斂，而判定絕對收斂的本質(zhì)就是判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法，常見的有D＇Alembert判別法、Cauchy判別法、Raabe對數(shù)判別法和Gauss判別法等，但都有一定的局限性，很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，如文獻(xiàn)［1］—［5］，事實(shí)上，我們可以根據(jù)Raabe判別法，給出了一個(gè)與其類似的新判別法.1 已有相關(guān)研究1.1 Raabe判別法該判別法和如下形式是等價(jià)的:1.2 Gauss判別法其

07)交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判別法的進(jìn)一步探討龐 通 ( 廣西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院人文科學(xué)系，廣西 南寧 530007)交錯(cuò)級(jí)數(shù)；斂散性；萊布尼茲判別法下面，筆者在萊布尼茲判別法的基礎(chǔ)上，引進(jìn)另外一種交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判別法。兩邊分別連乘得：[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(下冊)[M].北京:高等教育出版社，2007.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].北京：高等教育出版社，2004.[3]吳良森.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(下冊)[M].北京:高等教育出版社，20

定義數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性無窮數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般形式我們定義為Sn=U1+U2+那么,無窮數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相加的“和數(shù)”有什么實(shí)質(zhì)性的意義呢？由級(jí)數(shù)的定義（1）我們能夠得一個(gè)數(shù)列｛Sn｝,這里的｛Sn｝,表示為則顯然可得。下面給出常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的定義：定義2若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的部分和數(shù)列｛Sn｝收斂于S（即）,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）收斂,稱 S為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的和，記作或。若｛Sn｝是發(fā)散數(shù)列,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）發(fā)散。這里我們應(yīng)該注意的是：討論無窮級(jí)數(shù)的收斂問題時(shí),實(shí)質(zhì)上是研究

用積分判定級(jí)數(shù)斂散性則很少提及。下面，筆者通過應(yīng)用定積分與反常積分對級(jí)數(shù)斂散性的判定進(jìn)行了探討。1 級(jí)數(shù)與定積分定義1 若函數(shù)f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)：由定義1可以看出，定積分是積分和的極限，因此可對無窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為定積分來解決。2 級(jí)數(shù)與反常積分2.1 級(jí)數(shù)與無窮限反常積分由數(shù)學(xué)分析中的歸結(jié)原則［1］可得以下定理：2.2 級(jí)數(shù)與無界函數(shù)的反常積分3 結(jié) 語在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，可以通過一定條

在討論無窮積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性的方法時(shí)，對于比較判別法及其極限形式的談?wù)摬欢?，引起了許多讀者的疑問.事實(shí)上，比較判別法是一種重要而且實(shí)用的判別斂散性的方法，而且對于后續(xù)所介紹的其他的判別法有很強(qiáng)的理論指導(dǎo)意義.在《數(shù)學(xué)分析》理論體系中，從函數(shù)的單調(diào)有界定理出發(fā)，導(dǎo)出關(guān)于無窮積分絕對收斂的比較判別法.通過比較兩個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的大小關(guān)系，利用其中一個(gè)函數(shù)的無窮積分的斂散性，去判別另外一個(gè)函數(shù)的無窮積分的斂散性.比較判別法具有一種使用更為便捷的極限形式，文獻(xiàn)中對于極限

首要問題，就是斂散性的判斷問題.我們知道常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別問題是微積分中一個(gè)比較重要的問題[1].按照常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的定義，把常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)列的斂散性問題，從而柯西判別準(zhǔn)則給出了判斷常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件, 一般來說它適應(yīng)于一切常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷.但是，要檢測一個(gè)具體的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否滿足柯西判別準(zhǔn)則的條件本身就不比檢測這個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂容易，因而一般在檢測具體柯西判別準(zhǔn)則級(jí)數(shù)是否收斂時(shí), 使用柯西判別準(zhǔn)則是有一定困難的, 有時(shí)甚至無

）兩種反常積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性的判別方法龍愛芳（中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北武漢 430074）介紹了兩種判別反常積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性的判別方法.反常積分；斂散性；判別方法反常積分是數(shù)學(xué)分析課程中比較難掌握的內(nèi)容，在《數(shù)學(xué)分析》教材（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，第三版）中介紹了比較判別法、比較判別法的極限形式、阿貝爾判別法及狄利克雷判別法；此外文［2］給出了反常積分的對判別法；文［3］介紹了反常積分的導(dǎo)數(shù)判別法等等，本文介紹反常積分的另外兩種判別法：比值判別法和拉貝判別法.定

)簡單迭代法的斂散性討論張希娜，張 霞(蘭州理工大學(xué)技術(shù)工程學(xué)院理學(xué)部，甘肅 蘭州 730050)通過分析判斷簡單迭代法的收斂條件ρ(B)(迭代矩陣B的譜半徑)的不同情況，比較完整系統(tǒng)地給出了簡單迭代法斂散性的各種情況。簡單迭代法；斂散性設(shè)方程組AX=b，則簡單迭代法(Jacobi迭代)的迭代格式為:(1)1 主要結(jié)果命題1若ρ(B)有εk+1=Bεk，k=1,2,…。即：εk+1=Bεk=B2εk+1=…=Bk+1ε0由命題1可以看出，迭代是否收斂只與迭

窮限非正常積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性與被積函數(shù)在無窮大處極限的關(guān)系、非正常積分與積分和的極限的關(guān)系、非正常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的極限的關(guān)系。非正常積分；積分和；極限；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)無窮限非正常積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性與被積函數(shù)在無窮大處極限的關(guān)系、非正常積分與積分和的極限的關(guān)系、非正常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的極限的關(guān)系是數(shù)學(xué)分析的重要課題之一，這一關(guān)系不僅進(jìn)一步揭示了非正常積分的本質(zhì)，同時(shí)為非正常積分的應(yīng)用提供了更多的可能。關(guān)于它的研究已經(jīng)得到了許多重要成果[1-7]。下面，筆者在已有的研究成果

因而對反常積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性的判定就顯得格外重要［4－15]。本文討論的重點(diǎn)就是關(guān)于反常積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性的新的對數(shù)判定方法以及新的對數(shù)判別法和舊的對數(shù)判別法的優(yōu)劣。1 研究內(nèi)容考察無窮限積分的對數(shù)審斂法［4]的證明知道，它是以反常積分1時(shí)收斂，p≤1時(shí)發(fā)散)作為標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行判定的。在本文的研究中，我們可以以反常積分(p＞1時(shí)收斂，p≤1時(shí)發(fā)散)作為比較標(biāo)準(zhǔn)來探討相應(yīng)的判別法。類似地，對于瑕積分(a是唯一的瑕點(diǎn))，我們擬用(p＞1時(shí)收斂，p≤1時(shí)發(fā)散)作為比較標(biāo)準(zhǔn)來探討相應(yīng)

.2 無窮積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性的判定［2］設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，＋∞）連續(xù)，且f（x）≥0。若x→∞時(shí)f（x）是的高階無窮小，則積分收斂，否則積分發(fā)散。因?yàn)閎＜ξ＜c，c→＋∞，于是ξ→＋∞。收斂。1.3 瑕積分?jǐn)?span id="j5i0abt0b" class="hl">散性的判定2 例題說明因此原積分收斂。3 結(jié)束語［1］劉玉璉，傅沛仁，等.數(shù)學(xué)分析講義：第五版［M］.北京：高等教育出版社，2008：116－117.［2］云士偉，許 超，等.無窮小的階在計(jì)算中的應(yīng)用［J］.洛陽工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2002（9）：2

判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.正項(xiàng)級(jí)數(shù)；斂散性；Stolz定理；無窮小的階1 引 言在文［1］中，證明了如下新比值判別法：它們都是利用p-級(jí)數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)而建立的，那么，其中的極限p與p-級(jí)數(shù)中的p有何聯(lián)系？本文將探討在以上的判別法中的極限p的意義，并利用該意義來判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.2 本文結(jié)論及證明下面討論以上判別法中極限p的意義，引入施篤茲（Stolz）定理.3 應(yīng)用舉例故當(dāng)p＋x＞1時(shí)，即x＞1-p時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)p＋x＜1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.［1］ 李亞蘭，鄭鎮(zhèn)

了判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的幾個(gè)方法，并運(yùn)用其中一個(gè)方法證明了拉貝判別法及其極限形式的等價(jià)形式，改進(jìn)了最近一篇文獻(xiàn)中的結(jié)果，同時(shí)給出了應(yīng)用的例子.正項(xiàng)級(jí)數(shù)；斂散性；拉貝判別法1 引 言正項(xiàng)級(jí)數(shù)是一類很重要的級(jí)數(shù)，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法很多，許多作者對這些已知判別法作了研究與推廣，如文獻(xiàn)［1-7］，其中拉貝判別法在判別的范圍上比比式判別法更廣泛些，但對如下形式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，利用拉貝判別法無法判別其斂散性.本文針對這種形式的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，給出了新的判別法.為了便于敘

了判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一種對數(shù)判別法的極限形式.正項(xiàng)級(jí)數(shù)；斂散性；對數(shù)判別法；極限形式文［1］給出了如下判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的對數(shù)判別法：若n≥n0時(shí)1，則級(jí)數(shù)發(fā)散.為了便于使用該對數(shù)判別法，判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，下面給出它的極限形式：證明當(dāng)10，使q-ε=α>1，由數(shù)列極限的定義，N，當(dāng)n>N時(shí),有當(dāng)n>N時(shí),當(dāng)-∞≤q0，使q+ε=βN時(shí),有當(dāng)n>N時(shí),解因?yàn)橛闪_比達(dá)法則知，解因?yàn)橛闪_比達(dá)法則知解因?yàn)橛闪_比達(dá)法則知例4判別級(jí)數(shù)的斂散性.解因?yàn)橛缮鲜鏊膫€(gè)例

數(shù)學(xué)中交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別有萊布尼茲判別法，即：對交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)1 交錯(cuò)級(jí)數(shù)比較和比值判別法討論我們知道，正項(xiàng)級(jí)數(shù)有比較判別法[6]，那么，交錯(cuò)級(jí)數(shù)有沒有和正項(xiàng)級(jí)數(shù)類似的比較判別法呢？下面進(jìn)行一些討論.對于“問題1.1”，用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，可以得到下面的結(jié)論：例1.3取交錯(cuò)級(jí)數(shù)(2)和(3)例1.4交錯(cuò)級(jí)數(shù)(4)和(5)從上面兩個(gè)問題的討論中可以看到，交錯(cuò)級(jí)數(shù)有它的特殊性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法和比值判別法不能類比到交錯(cuò)級(jí)數(shù)上來.對于交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)，如

知識(shí)無窮級(jí)數(shù)的斂散性以及求和是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而有趣的研究課題，長期以來備受人們的關(guān)注。 很多學(xué)者做了大量工作，對某些具有特殊通項(xiàng)表達(dá)式的無窮級(jí)數(shù)的斂散性或求和總結(jié)出一些規(guī)律性的解法(見文獻(xiàn)[1]-[4])。 本文從無窮級(jí)數(shù)部分和的子序列的角度，把級(jí)數(shù)求和的問題轉(zhuǎn)化數(shù)列極限的計(jì)算問題，給出了一種判斷級(jí)數(shù)斂散性的方法，并且給出了這種方法在無窮級(jí)數(shù)求和以及判斷級(jí)數(shù)斂散性中的某些應(yīng)用。數(shù)列{Sn}的斂散性可由其子列來研究，并且有一個(gè)重要的結(jié)論。引理1[5]：數(shù)

系。在無窮級(jí)數(shù)斂散性的判別法中，有些無窮級(jí)數(shù)的斂散性用數(shù)學(xué)分析中所講的普通方法會(huì)有些困難。通過幾個(gè)具體無窮級(jí)數(shù)的例子，來討論它們的斂散性，并且從中得到了一些有用的判別法。1 具體問題如果un無界，則un趨于+∞，由于2 結(jié)束語本文通過以上幾個(gè)具體級(jí)數(shù)來討論它們的斂散性，從中不但得到一些有用的判別法，而且在判別法的證明過程中采用的一些技巧，對級(jí)數(shù)的研究具有一定的啟發(fā)性。[1]陳繼修.數(shù)學(xué)分析（第二版）.北京：高等教育出版社,2004.[2]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講

引 言正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法有很多種,常見的有達(dá)朗貝爾比值判別法、柯西根值判別法、Raabe判別法、高斯判別法和對數(shù)判別法[1-3]等等,但每種判別法都其不足之處,也就是存在判別法失效的問題.近年來,學(xué)者們對正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法做了許多研究,提出了多種新的有效的判別法[4-11].本文將對其中兩類作深入研究,得出它們的改進(jìn)及推廣形式,并通過實(shí)例驗(yàn)證其應(yīng)用價(jià)值.2 幾個(gè)引理及定理為了證明文中得出的定理,需下面的引理：引理1[3]設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在正數(shù)