數(shù)列斂散性的判定方法

王艷萍

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，宿州，234000

以極限為工具研究變化率問(wèn)題和無(wú)窮累積問(wèn)題，分別建立了微積分和積分學(xué)，足見(jiàn)極限理論在微積分中的重要地位。數(shù)列的斂散性判斷是極限問(wèn)題研究的基礎(chǔ)，許多學(xué)者長(zhǎng)期致力于研究該問(wèn)題，并給出了一些數(shù)列的判定方法［1-4］。然而數(shù)列形式多樣，其斂散性的判斷沒(méi)有固定模式。本文對(duì)常見(jiàn)數(shù)列形式及已知條件進(jìn)行分析，對(duì)其相應(yīng)斂散性的判斷方法作分類(lèi)研究與總結(jié)，并結(jié)合具體實(shí)例來(lái)說(shuō)明相應(yīng)方法的有效性。

1 判定方法

1.1 “ε-N”定義［5，6］

注：（1）用此方法的重點(diǎn)在于N的選取，N一旦存在，數(shù)列即收斂；（2）可根據(jù)“ε-N”定義的否定形式去判斷數(shù)列的發(fā)散；（3）定義法相對(duì)比較復(fù)雜，不常用該方法判斷數(shù)列的斂散性。

1.2 鄰域形式的定義

對(duì)任意的 ε＞0，如果在 U（a，ε）之外，數(shù)列｛xn｝中的項(xiàng)至多有有限個(gè)，則稱(chēng)數(shù)列是收斂于極限a。事實(shí)上，該定義是“ε-N”定義的幾何意義，即改變數(shù)列的前N項(xiàng)并不影響數(shù)列的收斂性。通常情況下，用該定義的否定形式去判斷一個(gè)數(shù)列的發(fā)散。其否定形式為：如果存在某一ε0＞0，使得在U（a，ε0）之外數(shù)列｛xn｝中的項(xiàng)有無(wú)限個(gè)，則稱(chēng)數(shù)列不以a為極限。

例 2 證明數(shù)列 ｛n（-1）n｝發(fā)散。

證明 任意實(shí)數(shù)a∈R，取ε0＝1，當(dāng)時(shí)，有 （2n）（-1）2n＝2n＞ε0），即在 U（a，ε0）之外數(shù)列 { n（-1）n}中的項(xiàng)有無(wú)限個(gè)，所以該數(shù)列的項(xiàng)不是a，由a的任意性說(shuō)明原數(shù)列無(wú)極限。

注：該方法一般常用于數(shù)列發(fā)散的判斷，重點(diǎn)在于尋找ε0的存在。

1.3 子列方法

定理1［5］數(shù)列 x{n}收斂?該數(shù)列的任何非平凡子列都收斂。此方法用數(shù)列的非平凡子列斂散性去判斷數(shù)列的斂散性時(shí)，前提是其非平凡子列的斂散性易判斷。

注：一般情況，用定理1的逆否命題去判斷一個(gè)數(shù)列的發(fā)散性，即通過(guò)找到一發(fā)散子列判斷數(shù)列發(fā)散。

例4 證明數(shù)列 { （ -1）n} 與數(shù)列是發(fā)散的。

證明 因?yàn)閿?shù)列{（-1）n}的偶數(shù)項(xiàng)組成的子列 { （ -1）2n}收斂于極限1，而其奇數(shù)項(xiàng)組成的子列 {（-1）2n-1}收 斂 于 極 限 -1，所 以 數(shù) 列{ （ -1）n} 是發(fā)散的；數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的子列為即是 {（-1）k-1}是發(fā)散的，所以是發(fā)散數(shù)列。

1.4 數(shù)列的有界無(wú)界

單調(diào)有界原理［5-6］：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。

單調(diào)有界原理可在不求出數(shù)列極限的情況下判定數(shù)列的收斂性；同時(shí)，也可根據(jù)收斂數(shù)列的有界性推出：若一數(shù)列無(wú)界，則該數(shù)列發(fā)散。

證明 首先證明該數(shù)列是單調(diào)的。由二項(xiàng)式展開(kāi)得：

1.6 迫斂性定理

注：（1）在構(gòu)造不等式時(shí)，左右不等式的極限必須相同；（2）此方法僅是判斷數(shù)列收斂的方法，無(wú)法判斷數(shù)列發(fā)散。

1.7 上下極限的方法

注：定理2中的逆否命題可判斷數(shù)列的發(fā)散性。

1.8 四則運(yùn)算法

由收斂的定義可知，若數(shù)列的極限存在，則數(shù)列收斂；反之，發(fā)散。所以可用極限的四則運(yùn)算法判斷數(shù)列的極限是否存在來(lái)判斷數(shù)列的斂散性。（1）對(duì)于有限個(gè)收斂數(shù)列的和差積商（分母及分母的極限不為零）仍然是收斂數(shù)列。（2）若 ｛xn｝與 ｛yn｝中一個(gè)收斂，另一個(gè)發(fā)散，則它們的和差必發(fā)散，但是積商未必發(fā)散。比如是收斂的，y＝n是n發(fā)散的，但xnyn＝1是收斂的。

注：此方法適用于將一個(gè)數(shù)列看成有限個(gè)斂散性易于判斷的數(shù)列的和差積商的情形。

注：在判斷收斂時(shí)僅對(duì)有限個(gè)數(shù)列的四則運(yùn)算成立。

1.9 壓縮映射原理

注：此方法適用于數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為壓縮函數(shù)的情形。

2 結(jié)語(yǔ)

數(shù)列的斂散性是極限問(wèn)題研究的基礎(chǔ)，而數(shù)列的種類(lèi)千變?nèi)f化，其判定方法也不盡相同。本文探究了利用數(shù)列的“ε-N”定義、鄰域的定義、子列的性質(zhì)、數(shù)列有界無(wú)界性質(zhì)、柯西收斂準(zhǔn)則、迫斂性定理、上下極限、四則運(yùn)算法、壓縮映射原理等條件判定數(shù)列斂散性的方法，針對(duì)一些常見(jiàn)的數(shù)列形式及已知條件進(jìn)行分析，給出相應(yīng)的判定方法，并結(jié)合算例驗(yàn)證了相應(yīng)方法的有效性。本文的不足之處在于因數(shù)列形式的多樣性，更多數(shù)列斂散性的判定方法并沒(méi)有給出，還有待進(jìn)一步討論。