多項交錯級數(shù)斂散性的判定方法

藺小林, 李仲博，2, 劉 侃，3

(1.陜西科技大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710021； 2.陜西銅川工業(yè)技師學(xué)院， 陜西 銅川 727000; 3.陜西省商業(yè)學(xué)校, 陜西 漢中 723000)

0 引言

函數(shù)項級數(shù)是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種非常重要的工具．函數(shù)項級數(shù)特別是常數(shù)項級數(shù)的首要問題，就是斂散性的判斷問題.我們知道常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別問題是微積分中一個比較重要的問題[1].按照常數(shù)項級數(shù)收斂性的定義，把常數(shù)項級數(shù)斂散性轉(zhuǎn)化為一個數(shù)列的斂散性問題，從而柯西判別準(zhǔn)則給出了判斷常數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件, 一般來說它適應(yīng)于一切常數(shù)項級數(shù)斂散性的判斷.但是，要檢測一個具體的常數(shù)項級數(shù)是否滿足柯西判別準(zhǔn)則的條件本身就不比檢測這個級數(shù)是否收斂容易，因而一般在檢測具體柯西判別準(zhǔn)則級數(shù)是否收斂時, 使用柯西判別準(zhǔn)則是有一定困難的, 有時甚至無法進(jìn)行判斷.特別對交錯級數(shù)使用柯西判別準(zhǔn)則往往失效.

萊布尼茲判別法是針對交錯級數(shù)斂散性的有效判別準(zhǔn)則.交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法在具體應(yīng)用過程中也有以下問題，首先，判別法中的兩個條件有時難于驗證; 其次，在交錯級數(shù)收斂時，不能直接判別級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂;第三，萊布尼茲判別法只給出了交錯級數(shù)什么時候收斂，而沒有給出交錯級數(shù)發(fā)散的條件，有些交錯級數(shù)雖然不滿足萊布尼茲判別法的條件，它也可能是收斂的級數(shù).要得到對交錯級數(shù)更多的非萊布尼茲型判別方法是比較困難的.文獻(xiàn)[2-12]進(jìn)行了推廣并得到了一些比較好的結(jié)論, 但是對一個交錯級數(shù)如何選取恰當(dāng)?shù)姆椒▉砼袆e它的斂散性仍是一個需要研究的問題.

從數(shù)學(xué)理論研究來看，還有比交錯級數(shù)更普遍的多項交錯級數(shù)以及廣義交錯級數(shù)，比如雙項交錯級數(shù)、k-項交錯級數(shù)等等.對于這些更一般的交錯級數(shù)，研究它們斂散性的判別準(zhǔn)則具有重要意義.本文對多項交錯級數(shù)以及廣義交錯級數(shù)的斂散性進(jìn)行了討論，把適用于交錯級數(shù)的一些判別方法推廣到多項交錯級數(shù)以及廣義交錯級數(shù)上來，這些判別方法應(yīng)用起來方便有效.

1 多項交錯級數(shù)及其斂散性的概念

定義1.1 形如

(1.1)

注1 當(dāng)k=1時，就是一般意義下的交錯級數(shù)[1]；當(dāng)k=2時，就是雙項交錯級數(shù)[2].

定義1.2 形如

a1+a2+…+am1

-am1+1-am1+2-…-am1+m2

+am1+m2+1+am1+m2+2+…+am1+m2+m3

-am1+m2+m3+1-am1+m2+m3+2-…-am1+m2+m3+m4

+……

(1.2)

的級數(shù)稱為廣義交錯級數(shù)[13].

注2 當(dāng)m1=m2=m3=…=k時，就是定義1.1的k-項交錯級數(shù)[1].

定義1.3 記

a1+a2+…+am1+am1+1+am1+2+…+am1+m2

+am1+m2+1+am1+m2+2+…+am1+m2+m3

+am1+m2+m3+1+am1+m2+m3+2+…+am1+m2+m3+m4

+……

收斂，則稱廣義交錯級數(shù)(1.2)絕對收斂.

2 多項交錯級數(shù)及廣義交錯級數(shù)斂散性判定方法

定理2.1 若多項交錯級數(shù)(1.1)滿足

(2)a2mk+1+a2mk+2+…+a(2m+1)k-a(2m+1)k+1-…-a(2m+1)k+k=bm

證明：見文獻(xiàn)[3].

定理2.2 若多項交錯級數(shù)(1.1)滿足：

則多項交錯級數(shù)(1.1)收斂，且和S滿足0≤S≤a1+a2+…+ak.

證明：考慮多項交錯級數(shù)(1.1)前2k(m+1)項的和，記

S2k(m+1)=a1+a2+…+ak

-ak+1-ak+2-…-a2k

+a2k+1+a2k+2+…+a3k

-a3k+1-a3k+2-…-a4k

+a2mk+1+a2mk+2+…+a(2m+1)k

-a(2m+1)k+1-a(2m+1)k+2-…-a(2m+1)k+k，

一方面，根據(jù)條件(1)有

S2k(m+1)= [a1+a2+…+ak

-(ak+1+ak+2+…+a2k)]

+[(a2k+1+a2k+2+…+a3k)

-(a3k+1+a3k+2+…+a4k)]

+[a2mk+1+a2mk+2+…+a(2m+1)k

-(a(2m+1)k+1+a(2m+1)k+2+…+a(2m+1)k+k)]>0

另一方面有

S2k(m+1)=a1+a2+…+ak

-(ak+1+ak+2+…+a2k)

+(a2k+1+a2k+2+…+a3k)

-(a3k+1+a3k+2+…+a4k)

+(a4k+1+a4k+2+…+a5k)

-…-

-(a(2m-1)k+1+a(2m-1)k+2+…+a2mk)

+(a2mk+1+a2mk+2+…+a(2m+1)k)

-(a(2m+1)k+1+a(2m+1)k+2+…+a(2m+1)k+k),

S2km+1=S2km+a2km+1，

S2km+2=S2km+1+a2km+2，

…,

S2km+k=S2km+k-1+a2km+k

所以，根據(jù)條件(2)有

…,

定理2.3 若廣義交錯級數(shù)(1.2)滿足：

(1)am1+m2+…+mk-1+1+am1+m2+…+mk-1+2

+…+am1+m2+…+mk-1+mk≥

am1+m2+…+mk+1+am1+m2+…+mk+2

+…+am1+m2+…+mk+mk+1

(k=0,1,2,…)(規(guī)定m0=0);

則廣義交錯級數(shù)(1.2)收斂，且和S滿足0≤S≤a1+a2+…+am1.

證明類似于定理2.1的證明，從略.

參照交錯級數(shù)的相關(guān)證明，可得下述顯然結(jié)論：

定理2.4 對多項交錯級數(shù)(1.1)，若記

Ak=a1+a2+…+ak,

A2k=ak+1+ak+2+…+a2k,…，

Amk=a(m-1)k+1+a(m-1)k+2+…+a(m-1)k+k,

推論2.1 對多項交錯級數(shù)(1.1)，若

(1)存在N，對任何m>N，都有Amk>A(m+1)k；

則多項交錯級數(shù)(1.1)收斂.

同樣，對廣義交錯級數(shù)(1.2)，也有如下顯然結(jié)論：

定理2.5 對廣義交錯級數(shù)(1.2)，若記

Am1=a1+a2+…+am1，

Am1+m2=am1+1+am1+2+…+am1+m2,…,

定理2.6 若多項交錯級數(shù)(1.1)滿足：

(1)存在N，對任何n>N，都有an>an+1；

則多項交錯級數(shù)(1.1)收斂.

S2k(m+1)= (a1+a2+…+ak)

-(ak+1+ak+2+…+a2k)

+(a2k+1+a2k+2+…+a3k)

-(a3k+1+a3k+2+…+a4k)

+…+

(a2mk+1+a2mk+2+…+a(2m+1)k)-

(a(2m+1)k+1+a(2m+1)k+2+…+a(2m+1)k+k)

而

S2k(m+1)=S2km+(a2km+1+a2km+2+…+a2km+k)

-(a2km+k+1+a2km+k+2+…+a2k(m+1))

S2km+1=S2km+a2km+1，

S2km+2=S2km+1+a2km+2，

…,

S2km+k=S2km+k-1+a2km+k，

由條件(2)知，

,…,

對廣義交錯級數(shù)(1.2)，我們有類似于定理2.5的結(jié)論如下，省略證明.

定理2.7 若廣義交錯級數(shù)(1.2)滿足：

(1)存在N，對任何n>N，都有an>an+1；

則廣義交錯級數(shù)(1.2)收斂.

(1)當(dāng)ρ<1時，多項交錯級數(shù)(1.1)或廣義交錯級數(shù)(1.2)絕對收斂；

(2)當(dāng)ρ>1或ρ=+ ∞時，多項交錯級數(shù)(1.1)或廣義交錯級數(shù)(1.2)發(fā)散.

(1)當(dāng)ρ<1時，多項交錯級數(shù)(1.1)或廣義交錯級數(shù)(1.2)絕對收斂；

(2)當(dāng)ρ>1或ρ=+ ∞時，多項交錯級數(shù)(1.1)或廣義交錯級數(shù)(1.2)發(fā)散.

注在定理2.7和2.8中，當(dāng)ρ=1時，多項交錯級數(shù)(1.1)或廣義交錯級數(shù)(1.2)可能收斂，也可能發(fā)散.

即

(2.1)

一方面，由于0<ε<ρ，顯然有

另一方面，對(2.1)令n從N開始進(jìn)行連乘到N+k，則有

所以

我們可以得到定理2.9的另外一種表示形式如下：

證明：僅對多項交錯級數(shù)(1.1)的情形進(jìn)行證明，對廣義交錯級數(shù)(1.2)的證明是類似的.

引理2.1[11](正項級數(shù)的Raabe 對數(shù)判別法)

即

因而

故

從而

于是

>…>

即

由定理2.6知l>0時級數(shù)(1.1)收斂.

證明：(1)充分性 如果交錯級數(shù)

都絕對收斂，即

都收斂，所以前n項和

3 小結(jié)

我們對多項交錯級數(shù)以及廣義交錯級數(shù)的斂散性進(jìn)行了一些初步討論，把適用于交錯級數(shù)的一些判別方法推廣到多項交錯級數(shù)以及廣義交錯級數(shù)上來，這些判別方法僅僅是多項交錯級數(shù)以及廣義交錯級數(shù)斂散性判別方法的一部分，還有必要進(jìn)行更深入地研究，期待得到一些應(yīng)用更加廣泛，效果更好的判別方法.

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