關(guān)于比較判別法及其極限形式的一點(diǎn)注記

周學(xué)君

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 黃州438000)

在《數(shù)學(xué)分析》這門專業(yè)基礎(chǔ)課的講授過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)在討論無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘姆椒〞r(shí)，對(duì)于比較判別法及其極限形式的談?wù)摬欢啵鹆嗽S多讀者的疑問(wèn).

事實(shí)上，比較判別法是一種重要而且實(shí)用的判別斂散性的方法，而且對(duì)于后續(xù)所介紹的其他的判別法有很強(qiáng)的理論指導(dǎo)意義.在《數(shù)學(xué)分析》理論體系中，從函數(shù)的單調(diào)有界定理出發(fā)，導(dǎo)出關(guān)于無(wú)窮積分絕對(duì)收斂的比較判別法.通過(guò)比較兩個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的大小關(guān)系，利用其中一個(gè)函數(shù)的無(wú)窮積分的斂散性，去判別另外一個(gè)函數(shù)的無(wú)窮積分的斂散性.比較判別法具有一種使用更為便捷的極限形式，文獻(xiàn)中對(duì)于極限形式的證明和二者之間的深層關(guān)系，缺乏詳盡論述.本文針對(duì)比較判別法及其極限形式的關(guān)系進(jìn)行深入探討.

1 預(yù)備知識(shí)

先回憶一下無(wú)窮積分的絕對(duì)收斂比較法則及其推論.

2 主要結(jié)論

則有:

在無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘闹T多判別法中，比較判別法及其極限形式是第一種方法，是后續(xù)介紹的判別法的基礎(chǔ)，地位特殊顯得尤為重要.再者在實(shí)際應(yīng)用中，該方法的使用頻率很高，價(jià)值大.本文筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出一些見解，供讀者參考.

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2001:270 －275.

［2］ 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(下冊(cè))(第五版)［M］.北京:高等教育出版社，2008:161 －165.

［3］ 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))(第二版)［M］.北京:復(fù)旦大學(xué)出版社，2004:269 －273.

［4］ 歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金福臨.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2007:71 －75.