正項級數(shù)達朗貝爾判別法的幾點補充

陳實 石昌梅 彭春源 何丁莉

[摘? ? ? ? ? ?要]? 達朗貝爾判別法是判別正項級數(shù)斂散性一種非常方便和常用的方法，這種方法對某些級數(shù)斂散性的判別卻是無效的.主要通過舉例說明達朗貝爾判別法失效的兩種情況，給出了判別這類級數(shù)斂散性的一些方法和思路.

[關? ? 鍵? ?詞]? 正項級數(shù);達朗貝爾判別法;斂散性;失效

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）32-0056-02

無窮級數(shù)是數(shù)學分析中的一個重要組成部分，無窮級數(shù)又分為數(shù)值級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)，數(shù)值級數(shù)是研究函數(shù)項級數(shù)的基礎.函數(shù)項級數(shù)是用于表示函數(shù)的一個重要工具，特別是非初等函數(shù)的表示問題.對某些函數(shù)，利用冪級數(shù)可將其表示成無窮項多項式的和，同時通過選取有限項來近似計算時可以估計其誤差等.所以，無窮級數(shù)對于研究函數(shù)起到非常重要的作用.

對無窮級數(shù)最重要的問題是什么呢？對給定的級數(shù)，最核心的兩個問題是：（1）判別所給級數(shù)是否收斂;（2）如果級數(shù)收斂，則級數(shù)的和為多少？所以，對一個級數(shù)而言，首當考慮的是其斂散性的判別問題.那么，如何判別一個級數(shù)的斂散性呢？有關級數(shù)斂散的判別法有很多，常用的方法有：（1）利用級數(shù)斂散的定義，將問題轉化為求數(shù)列極限的問題，這種方法的前提是所給級數(shù)的前n項部分和要能夠比較容易地計算出來，這對許多級數(shù)而言都是比較困難的，例如級數(shù);（2）利用級數(shù)斂散性的柯西收斂準則，這種方法是級數(shù)理論上的一個非常重要的結果，但對具體的級數(shù)而言，柯西收斂準則應用起來會比較麻煩，甚至會不易判別;（3）可以借助已知斂散性的級數(shù)，以及級數(shù)的運算性質來進行判別;（4）利用級數(shù)相關判別法，例如比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法等[1].

正項級數(shù)作為數(shù)值級數(shù)的一類重要類型，其斂散性判別法常用的有比較判別法、柯西判別法和達朗貝爾判別法等，為了使判別法更精細、應用更廣泛，學者們在已有的這些經(jīng)典方法的基礎上，進一步深入地研究和探討正項級數(shù)斂散性的判別方法，例如有關推廣判別法的研究，文獻[2]對拉貝判別法和達朗貝爾判別法進行了進一步的研究，并考慮更精細的級數(shù)作為比較標準，從而將已有方法做了兩個推廣;又有將新的級數(shù)作為比較標準，得到比較判別法的新審斂法，由此總結出：當正項級數(shù)的通項含有l(wèi)n（n）且較復雜時，可以考慮用此審斂法[3];還有基于柯西積分判別法和比較原理，證明了某些正項級數(shù)的斂散性，并將這些結果推廣到更一般的情形[4].關于正項級數(shù)的斂散性問題的研究還有很多，例如文獻[5-11]，學者們從不同角度，利用不同的方法和工具對正項級數(shù)的斂散性進行探討，例如文獻[5]是利用函數(shù)的泰勒展開式以及極限的運算性質，再借助已知級數(shù)的斂散性，推導出判別正項級數(shù)斂散性的兩種方法，并在此基礎上得到了通項遞減的正項級數(shù)斂散性的兩種判別法.

本文主要是在判別正項級數(shù)斂散性的達朗貝爾判別法的基礎上，討論該方法的應用問題，其中主要考慮達朗貝爾判別法失效的情形，通過舉例說明達朗貝爾判別法失效的兩種情況，并給出其中某些級數(shù)斂散性判別的一些方法.

一、達朗貝爾判別法

正項級數(shù)作為一類重要的級數(shù)，由于級數(shù)理論的復雜性和不確定性，我們看到并不能建立一種萬能的判別方法，因為針對不同類型的級數(shù)可能需要應用不同的判別法，所以，這使級數(shù)斂散性的判別方法有很多.比較判別法是判別正項級數(shù)斂散性一種最基本和最常用的方法.在比較判別法中，當以幾何級數(shù)n作為比較的標準級數(shù)時，得到了柯西（Cauchy）判別法和達朗貝爾（DAlembert）判別法.柯西判別法和達朗貝爾判別法的極限形式敘述如下：

從定理2的敘述可以知道，達朗貝爾判別法是通過考察比來判斷級數(shù)的增長速率的，而且該判別法是具體級數(shù)判別問題中非常便利的一種方法.一般地，當級數(shù)通項中包含有n的階層或n的次冪時，達朗貝爾判別法都是有效的，我們可以通過下面兩個級數(shù)斂散性的判別看到.

從這兩個級數(shù)斂散性的判別操作上可以看到，達朗貝爾判別法在實際應用中是非常方便的.那么，達朗貝爾判別法適用于哪些類型級數(shù)的斂散性判別呢？從理論上來看，由于達朗貝爾判別法是以幾何級數(shù)用，例如，調和級數(shù)就無法用達朗貝爾判別法判斷其斂散性. 因此，對達朗貝爾判別法失效的正項級數(shù)，如何判別它們的斂散性便成為一個需要討論的問題.下面，我們將討論達朗貝爾判別法失效的兩種情況，并給出其中某些常見類型級數(shù)斂散性判別的一些方法和思路，通過實例進行解析.由此希望能給讀者在學習正項級數(shù)斂散性判別法時提供一點解題思路和建議.

二、達朗貝爾判別法失效的情況分析

（1）對通項為單調增加數(shù)列的級數(shù)，可以考慮其通項極限是否為零.

我們知道，收斂級數(shù)一個重要的必要條件是其通項極限為零，所以，這個命題的逆否命題為真的，即若級數(shù)通項數(shù)列的極限不為零，則級數(shù)是發(fā)散的.因此，如果級數(shù)的通項是單調增加的，而且其首項不為零，則此時級數(shù)的通項的極限不為零，故可以判斷級數(shù)是發(fā)散的.我們來看下面具體的例子.

（2）對斂散性比幾何級數(shù)慢的級數(shù)，可以考慮以比幾何級數(shù)斂散更慢的正項級數(shù)作為新的比較標準而得到更精細的判別法，這樣判別法適用范圍也將會有所擴大.例如下面的拉貝（Raabe）判別法即是廣義調和級數(shù)作為比較級數(shù)所得到的判別法.

所以，對斂散性比幾何級數(shù)慢的級數(shù)，可以考慮用拉貝判別法，甚至用比拉貝判別法更細致的其他推廣形式，例如文獻[2]中的推廣方法等.

參考文獻：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林玎，等.數(shù)學分析講義（第六版，下冊）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]李蔚.正項級數(shù)斂散性比較判別法推廣Ⅰ及Ⅱ[J].安徽廣播電視大學學報，2013（1）：121-24.

[3]陳翠玲，韓彩虹，李智，等.正項級數(shù)審斂法的推廣[J].高師理科學刊，2020（1）：9-11.

[4]盧霖.柯西積分判別法與比較原理的應用[J].高師理科學刊，2020（2）：72-75.

[5]賈瑞玲，崔國忠.基于正項級數(shù)比較判別法的探討[J].高等數(shù)學研究，2019（3）：6，18-20.

[6]馮潔.運用放大法判定正項級數(shù)的斂散性[J].大慶師范學院學報，2019（6）：92-96.

[7]陳飛翔.級數(shù)收斂性的判別法[J].課程教育研究，2019（6）：136.

[8]邱晨陽.還有比調和級數(shù)發(fā)散速度更慢的正項級數(shù)嗎[J].高等數(shù)學研究，2019（5）：7-9.

[9]李婭.比較判別法在級數(shù)收斂性判別上的應用[J].高等數(shù)學研究，2019（5）：26-28.

[10]李衛(wèi)平，紀宏偉.對正項級數(shù)斂散性判別方法的研究[J].高等數(shù)學研究，2019（5）：8，21-25.

[11]于也淳，鄧雪.正項級數(shù)比較判別法極限形式的探析[J].高師理科學刊，2020（1）：6-8.

[12]伍勝健.數(shù)學分析（第二冊）[M].北京：北京大學出版社，2010.

◎編輯 馬燕萍