柯西

等號成立,這就是柯西不等式的一般形式.在解題中,關于柯西不等式的運用并非“直截了當”,往往需要運用一些方法與技巧,下面一起來看個究竟.1 巧拆常數(shù)柯西不等式的右側(cè)是兩個因式的乘積形式,于是我們可以將所求等式乘1,然后將1根據(jù)實際拆分成幾個分數(shù)的和.例1已知實數(shù)a,b,c,d滿足a＋b＋c＋d＝3,a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5,試求a的最值.點評巧拆常數(shù)必須從實際出發(fā),本題借助柯西不等式將等式轉(zhuǎn)化為關于a的不等式,在這個過程中,柯西不等式發(fā)揮了化等式為不

時，只要能配湊出柯西不等式中兩組數(shù)的乘積或兩組數(shù)的平方和，且其中之一為定值，便可運用柯西不等式求得形如c+d、ac+bd式子的最值.例1.已知x+y=1，求x+y的最小值.分析：x+y是關于x、y的二次齊次式，也是x、y的平方和，而已知條件中x+y是關于x、y的一次齊次式，可以將其看成1·x+1·y這里x+y相當于二維柯西不等式中的c+d，x+y相當于公式中的ac+bd.而a=1，b=1，a+b=2，由柯西不等式可得x+y≥k（k是常數(shù)）成立，從而求得x+

于欣琪 韓腸柯西不等式是一個非常重要的不等式，它在證明命題、求函數(shù)最值等方面有著廣泛的應用.尤其在求解最值問題時，巧妙地運用柯西不等式及其變形式，能夠快速、準確地獲得問題的答案.本文重點談一談柯西不等式在求函數(shù)最值問題中的應用.設 a1，a2，a3， …，an ，b1，b2，b3， …，bn? 是實數(shù)，則（a12+ a22+ …+an2）（b12+b22+ …bn2）≥ （a1b 1+a2b2+ …anbn）2，當且僅當 bi=0（i =1，2， …，n）

秦安縣第二中學)柯西不等式可以很好地考查學生的運算求解能力和邏輯思維能力,因而成為高中數(shù)學各類考試中的熱門考點.n維柯西不等式的一般形式:對任意的實數(shù)a1,a2,…,an及b1,b2,…,bn,有1 利用柯西不等式求最值例1 已知函數(shù)f(x)＝|2x－m|,若f(x)≤1的解集為[1,2],且a＋3b＝m(a＞0,b＞0),求a2＋9b2的最小值.例3 已知函數(shù)f(x)＝|x－3|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥7的解集;(2)記函數(shù)f(x)的最小值

ta積分的方式對柯西中值定理進行探討，并確立了定理的漸進性。陳雪等[3]提出利用函數(shù)的柯西積分性質(zhì)來分析柯西積分公式?；诖?，可以看出通過復積分的方式研究解析函數(shù)，在復積分的研究過程中，延伸出了很多重要的知識。利用柯西型K-積分的相關性質(zhì)進行研究，可以得到復變函數(shù)積分的相關性質(zhì)在復變函數(shù)K-積分中的應用。1 柯西型K-積分的連續(xù)性與解析性1.1 柯西型K積分的相關定義1.2 相關引理2 柯西型K-積分的連續(xù)性、解析性及證明2.1 定理1證明2.2 定理2證

莫元健 龍承星柯西不等式作為高中數(shù)學新課程中的新增內(nèi)容,其形式簡潔,應用廣泛,極具解題魅力.近年來,無論是高考試卷還是數(shù)學不同學科的題目中都越來越多地出現(xiàn)了與柯西不等式相關的題目.用高等數(shù)學中柯西不等式的思想滲透到中學數(shù)學中,對解決中學數(shù)學中某些不等式的證明或靈活并巧妙地在不同數(shù)學學科中應用柯西不等式,將得到出奇制勝、事半功倍的效果.1 柯西不等式1.1 柯西不等式的定義在中學中我們熟知柯西不等式的左邊是平方和的乘積,右邊是乘積和的平方.但在高等數(shù)學中,

查日趨多樣化，而柯西不等式就是其中的一種常見的考查要點，但對于多數(shù)同學來說，如何正確地運用柯西不等式，如何將不等式構(gòu)造或轉(zhuǎn)化成柯西不等式的形式尤為困難.構(gòu)造法是一種很常用的方法，本文擬通過對教學工作中的一些思考，將柯西不等式的構(gòu)造作一點粗淺的總結(jié)，以期拋磚引。一、柯西不等式等號當且僅當或時成立（k為常數(shù)，）證明：構(gòu)造二次函數(shù)=由構(gòu)造知 ? 恒成立 又，當都為0時成立，若其不都為0時，則顯然，即當且僅當 ?即時等號成立二、柯西不等式的構(gòu)造柯西不等式是一個非常

00)在競賽中,柯西不等式對不等式的證明與求代數(shù)式的最值有著十分重要的作用. 與此同時,柯西不等式經(jīng)常也與其他不等式結(jié)合使用,能解決很多有難度的試題. 本文旨在幫助同學們突破有關柯西不等式運用的難點和熱點問題.一、柯西不等式的直接運用例1(2018年河北初賽題)若實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmin=______.分析視z為參數(shù)并移項,再使用柯西不等式得不等式,可使問題獲解.例3(2018年河南初賽題)已知cos

201808)柯西不等式在競賽中不等式的證明與代數(shù)式最值的計算，有著十分重要的作用.與此同時，柯西不等式經(jīng)常也與其他不等式結(jié)合使用，能解決出很多有難度的試題.本文旨在幫助同學們突破有關柯西不等式運用的難點和熱點問題.一、知識點梳理當且僅當ai=kbi，即ai,bi(i=1,2,3,…,n)成比例時取等號.二、命題規(guī)律揭示1.柯西不等式的直接運用例1 (2018年河北初賽題)已知實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmi

證明不等式利用柯西不等式證明某些不等式特別方便,利用柯西不等式的技巧也有很多,如添項、配湊常數(shù)式、改變結(jié)構(gòu)等.3.1 添項3.2 “1”的代換由柯西不等式,得所以ab+4bc+9ac≥36,當且僅當a=2,b=3,c=1時,等號成立.3.3 湊配常數(shù)式(1)解不等式f(x)≥4;(2)記函數(shù)f(x)的最小值為m,若a,b,c均為正實數(shù),且a+2b+3c=2m,證明:(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2,3.4 改變結(jié)構(gòu)證明由柯西

312069)柯西不等式不僅形式優(yōu)美而且具有重要的應用價值，許多不等式問題通過柯西不等式化解往往事半功倍，使人耳目一新．下面就柯西不等式的三個重要應用進行例析.一、變形湊數(shù)用柯西點評直接應用柯西不等式化解的問題一般易于破解，有些問題不易直接進行化解，則需要進行必要的湊、補等手段才能達到，因此要注意對于已知的式子進行必要的變形，以利于柯西不等式的應用．二、二用柯西傳遞證例2已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，分析這個問題首選要進行變形運用柯西不等式，將不

+c).2 三元柯西不等式及常見結(jié)論于是得到以下結(jié)論:有了結(jié)論1,筆者利用柯西不等式并結(jié)合待定系數(shù)法來證明定理1.由柯西不等式有利用定理1,可快速地證明例1.由xyz=1和定理1得證.證明由柯西不等式有(2)經(jīng)過簡單變形,可得到以下式子:證明由柯西不等式有利用柯西不等式證明此類條件為abc=1的不等式的關鍵是創(chuàng)設應用柯西不等式的條件,配合一定的變形、構(gòu)造技巧,這樣可使復雜問題簡單化,達到事半功倍的效果.若所證不等式的結(jié)構(gòu)較簡單,注意到柯西不等式的結(jié)論中分子

冀建軍 王 偉柯西不等式是高考必考內(nèi)容和高頻考點,運用柯西不等式解決相關求值、不等式證明、求最值等問題可以起到事半功倍的效果.學生對柯西不等式大多停留在識記公式層面,能進行直接應用,但遇到具體問題情境,意識不到用柯西不等式,不能進行知識遷移,束手無策,只能放棄,其關鍵是對公式內(nèi)涵理解不夠,對公式相關變形及幾何意義達不到“創(chuàng)新型理解”.1.柯西不等式的形式柯西不等式一般形式為:設ai,bi∈R,則即對于(a1b1+a2b2+···+anbn)2,當且僅當a

50500）一、柯西不等式內(nèi)容二、柯西不等式的二次函數(shù)證法所以把上列n個不等式相加得當b1=b2=… =bn=0時，已經(jīng)研究?！鄁(x)是關于x的一元二次函數(shù)，∴f(x)=0方程判別式△≤0下面研究（1）式取等號的情形若（1）式取等號，則△=0，于是由（3）知方程f(x)=0有兩個相等的實數(shù)根，即x=k,代入（2）得所以從兩方面證明了柯西不等式，在高考和數(shù)學競賽中，柯西不等式主要解決最值問題、取得最值時滿足的條件及推到其他重要的不等式。柯西不等式應用特點：

0)均值不等式和柯西不等式是兩個著名的不等式，它們在解決有關數(shù)學問題的過程中，各自發(fā)揮了重要的作用.但是，對一些多元函數(shù)最值問題，特別是一些比較復雜的多元函數(shù)的最值問題，如果想到使它倆能夠攜手同行應對，便可發(fā)揮更大的威力.本文舉例說明，如何讓均值不等式與柯西不等式攜手同行探求多元函數(shù)的最值問題時產(chǎn)生更大的效果.=(1+4)2=25，①≤(x2+y2)[(1-y2)+(1-x2)](運用二維柯西不等式)由均值不等式，得當且僅當x=y=z時，上式等號成立.又由

高級中學 曾鴻燁柯西不等式作為一個基本而又重要的不等式,具有較強的應用性。同學們?nèi)绻莒`活巧妙地運用柯西不等式,特別是柯西不等式的變形形式,就會在解題時能收到出奇制勝、事半功倍的效果。下面通過一些課本上的習題、高考題、競賽題來看柯西不等式變形形式的應用。柯西不等式：若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是實數(shù),則(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全為零時,當且僅當存在一個實

63006）1 柯西不等式及其證明證一：利用構(gòu)造二次函數(shù)證明反之，若兩組數(shù)(ai)與(bi)成比例，兩邊相等。[1]證二：利用作差法證明證三：利用向量內(nèi)積證明利用向量內(nèi)積證明證四：利用均值不等式證明式中A＞0，B＞0，則(1)即下面證明不等式(3)，由均值不等式將以上各式相加，得證五：利用數(shù)學歸納法證明即n=k+1時，不等式也成立2 柯西不等式的各種形式柯西不等式有各種各樣的類型，在不同的數(shù)學分支中都有著極其廣泛的應用。在不同的數(shù)學分支它有不同的形式和內(nèi)容

　726001)柯西不等式是高中數(shù)學中的一個重要不等式，它在中學數(shù)學中有多方面的應用.近幾年柯西不等式在全國各地高考試題中的應用屢見不鮮.2017年全國及各地高考數(shù)學試題中，柯西不等式又體現(xiàn)了其應用的廣泛性.下面略舉幾例，供大家參考.一、在不等式證明中的應用例1(2017年全國Ⅱ理23)已知a>0，b>0，a3+b3=2.證明(a+b)(a5+b5)≥4.證明由二元柯西不等式，得∴(a+b)(a5+b5)≥4.例2(2017年江蘇21D)已知a，b，c，d

8000 )一、柯西不等式及其推論柯西不等式:設ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.推論1:設ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),則當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.二、柯西不等式的推論的應用由推論1得∴a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2對例1可進行維數(shù)的推廣.維數(shù)的推廣:設ai∈R(i=1,2,…,n),證明根據(jù)柯西不等式，類似例1過程得在解決有些不等式問題時

及神奇的，特別是柯西不等式，柯西不等式作為一種高中數(shù)學學習非常重要的不等式，當ai，bi∈R（i=1，2，…，n）時，∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，其中等號成立的條件是當數(shù)組a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不完全等于0時.靈活地應用柯西不等式，能夠解決一些看似比較困難以及復雜的問題.本文給出了幾種較為典型的證明柯西不等式的方法，然后列舉了幾種柯西不等式的一般式、二維形式、向量形式以及三角形式，最后介紹了在幾種類型的解題過

528000)柯西不等式的推論的應用劉振興(佛山市第一中學，廣東 佛山 528000)柯西不等式是一個非常重要的不等式，它以其形式對稱和諧美的結(jié)構(gòu)引起了許多學者的研究,并出現(xiàn)了許多的推論變式.應用柯西不等式的推論，可以簡單解決許多競賽中的不等式問題,并且對這些不等式問題可進行推廣.柯西不等式；推論；推廣一、柯西不等式及其推論柯西不等式:設ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.二、柯西不等式的推論的

鄭在田++胡福軍柯西不等式的應用高中生學習·高三版 2017年6期2017-06-12

810000)柯西不等式的向量形式及其應用◎黃 驍(青海師范大學，青海 西寧 810000)柯西不等式；向量；應用構(gòu)造m=(a1，a2，…，an)，n=(b1，b2，…，bn)，由于m·n=|m||n|cos〈m，n〉，而cos2〈m，n〉≤1，所以|m|2|n|2≥(m·n)2，當且僅當m∥n時，等號成立.一、解方程組問題二、求最值問題例2 已知a+2b+3c+4d+5e=30，求S=a2+2b2+3c2+4d2+5e2的最小值.(a2+2b2+3c2

0) 溫芳勇●?柯西不等式在求多元函數(shù)最值中的應用再探江西省贛州市第三中學(341000) 溫芳勇●解 觀察變元x、y、z的次數(shù)，依低次在不等式左邊、較高次在不等式右邊的原則，確定要湊配成(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)( )這種形式.故括號里面的數(shù)很明顯是12+22+32.據(jù)此有，(x+2y+3z)2≤ 5×(12+22+32)=70,例3 設x+y+z=1，求函數(shù)u=2x2+3y2+z2的最小值.解 要湊配成柯西不等式，觀察其變元的次數(shù)，低次

) 王強芳對兩道柯西不等式問題的困惑與解惑廣西南寧三中(530021) 王強芳筆者在競賽輔導時選講了如下題目,分析1 由于三個被開方數(shù)的和是常數(shù),可考慮直接使用柯西不等式,則證明失敗!分析2 如果將變?yōu)檫@時后面部分式子的三個被開方數(shù)的和也是常數(shù),由柯西不等式得證明成功!分析3 如果考慮后面兩項利用關系,則得分析4 如果將原式子變?yōu)橛?span id="j5i0abt0b" class="hl">柯西不等式上面幾種方法中,第一種是直接使用柯西不等式,結(jié)果失敗了,后面三種都是局部使用柯西不等式而保留變量x,最后利用函數(shù)的單

)一、二維形式的柯西不等式形式及其證明設a,b,c,d∈R，則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，當且僅當ad=bc時，取等號.證法一(配方法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2.∵m·n=ac+bd，且m·n=|m||n|cos〈m,n〉，則|m·n|≤|m||n|.∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.證法三(構(gòu)造二次函數(shù)法)設f(x)=(

中學　錢　琳例談柯西不等式的實踐運用☉江蘇省宜興市和橋高級中學錢琳不等式是中學數(shù)學的難點，更是競賽數(shù)學的重點.在教材中，基本不等式屬于必須要求掌握的最簡單的不等式，除此之外，如柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等在數(shù)學中有著極為巧妙的運用，利用這些不等式能夠巧妙地解決很多其他相關的知識，體現(xiàn)了不等式的重要價值.柯西不等式和基本不等式類似，其是不等式初學者必須要掌握的，可以這么說，基本不等式與柯西不等式其本質(zhì)是一致的，但柯西不等式的形式化程度更高.n維柯西不

一中學　石福祿論柯西不等式在高中數(shù)學中的應用甘肅省靖遠縣第一中學石福祿柯西不等式是數(shù)學中一個非常重要的不等式，在代數(shù)、幾何等方面應用非常廣泛，常常被當做解題基礎，可以利用條件快速得出結(jié)論。若能夠靈活運用柯西不等式，可以使一些問題巧妙地得以解決，我們要適當?shù)貥?gòu)造使用它的條件，以達到最終目的。柯西不等式；變式；應用一、柯西不等式的主要變形公式柯西不等式有多種變形，已經(jīng)成為現(xiàn)在許多數(shù)學理論的出發(fā)點。掌握幾種常見的柯西不等式的變形，能夠讓我們對柯西不等式有更全面的

省太和中學　岳峻柯西不等式要點解讀安徽省太和中學岳峻柯西不等式是由大數(shù)學家柯西發(fā)現(xiàn)的經(jīng)典不等式，它不僅具有簡潔、對稱的數(shù)學美感，而且具有重要的應用價值。靈活巧妙地運用柯西不等式，可以使得一些較難解決的問題迎刃而解。如何破解柯西不等式應用的關鍵點呢？解題者應立足于已知信息和待求（證）式結(jié)構(gòu)的特征，敏銳地捕捉到這些關鍵結(jié)構(gòu)，并對這些結(jié)構(gòu)進行分析，分析常量與變量之間的關系，加以思考、處理，靈活應對。一、二維形式的柯西不等式（1）若a、b、c、d都是實數(shù)，則（a2

346)張雪峰?柯西不等式在解題中的應用江蘇省連云港市郁林中學(222346)張雪峰1在代數(shù)中的應用解：將4a2-2ab+4b2-c=0變形為2c=3(a+b)2+5(a-b)2，由柯西不等式得例2設x、y為實數(shù)，若x2+y2+xy，則x+y的最大值是_________.解:將原方程組中的兩個方程相加得 (2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，將第一個方程可變形為2x+(3y+3)+(z+2)=18，由柯西不等式得[(2x)2+(3y+3)2](

+=1，所以根據(jù)柯西不等式得x+y=[（）2+（）2]·[（）2+（）2]≥（+）2，當且僅當·=·，即=時取等號.所以，x+y的最小值為（+）2.小結(jié) 柯西不等式很重要，靈活巧妙地運用它，可以使一些較復雜的問題迎刃而解.中學階段我們常用柯西不等式來證明不等式或求解最值.二、減元法例2 已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=，則z的取值范圍是_____.解 由x+y+2z=1，得x+y=1-2z.由x2+y2+2z2=，得x2+y2=

/覃發(fā)崗 寧紀獻柯西不等式變式的應用文/覃發(fā)崗 寧紀獻對柯西不等式基本形式、推論作了歸納，然后給出了其推論的應用。不等式;應用;柯西不等式1.引言柯西不等式是數(shù)學中一個非常重要的不等式，它結(jié)構(gòu)對稱和諧，具有較強的應用性，深受人們的喜愛。它的推論也比較多，本文主要介紹其四個推論及其應用。2.柯西不等式的變式2.1 柯西不等式的基本形式［1］2.2 柯西不等式的變式［2］變式二變式五將柯西不等式兩邊開平方根即得。3.應用柯西不等式的變式3.1 應用變式一證明由

有重要地位，其中柯西不等式的應用是一種重要的方法.一、柯西不等式設a1，a2，…，an及b1，b2，…，bn是任意實數(shù)，則（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n），等號當且僅當b1a1=b2a2=…=bnan時成立（約定ai=0時，bi=0）.二、柯西不等式的應用 不等式的證明在數(shù)學中占有重要地位，其中柯西不等式的應用是一種重要的方法.一、柯西