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    利用柯西不等式求最值的技巧

    2022-07-13 21:54:34高慧
    關(guān)鍵詞:平方和柯西乘積

    高慧

    在解題時,只要能配湊出柯西不等式中兩組數(shù)的乘積或兩組數(shù)的平方和,且其中之一為定值,便可運用柯西不等式求得形如c+d、ac+bd式子的最值.

    例1.已知x+y=1,求x+y的最小值.

    分析:x+y是關(guān)于x、y的二次齊次式,也是x、y的平方和,而已知條件中x+y是關(guān)于x、y的一次齊次式,可以將其看成1·x+1·y這里x+y相當于二維柯西不等式中的c+d,x+y相當于公式中的ac+bd.而a=1,b=1,a+b=2,由柯西不等式可得x+y≥k(k是常數(shù))成立,從而求得x+y的最小值.

    解:由柯西不等式知(1+1)(x+y)≥(l·x+1·y),

    在該式的左右兩邊除以(1+1),

    例2.已知2x+3y=1,求x+y的最小值.

    分析:x+y是兩數(shù)x、y的平方和,2x+3y=2·x+3·y.而2、3的平方和等于13,可將其看作二維柯西不等式中的a、b,可得a+b=13,又(2x+3y)=l,則可直接利用二維柯西不等式求得x+y的最小值.

    解:因為(2+3)(x+y)≥(2x+3y),

    例3.已知x+y=1,求2x+3y的最小值.

    若已知關(guān)于兩個變量的一次式的值,求兩個變量的二次齊次式的最小值,一般要把目標式看成兩個數(shù)的平方和,即c+d,確定c、d的值,然后把一次式看成是這兩數(shù)c、d與另外兩個數(shù)的乘積之和,確定a、b,求出a+b,再套用二維柯西不等式,即可求出二次齊次式的最小值.若已知關(guān)于兩變量的二次齊次式的值,求關(guān)于兩變量的一次齊次式的最大(?。┲?,需把目標式看成兩組數(shù)的乘積的和,即ac+bd,根據(jù)二次齊次式確定兩個常數(shù),求出其平方和,再套用二維柯西不等式,即可求出一次齊次式的最值.值得注意的是,二維柯西不等式中的二次齊次式只能有最小值,而作為對應數(shù)乘積之和的一次齊次式既有最大值又有最小值.

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