柯西不等式要點(diǎn)解讀

安徽省太和中學(xué)　岳峻

柯西不等式要點(diǎn)解讀

安徽省太和中學(xué)岳峻

柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)的經(jīng)典不等式，它不僅具有簡潔、對稱的數(shù)學(xué)美感，而且具有重要的應(yīng)用價(jià)值。靈活巧妙地運(yùn)用柯西不等式，可以使得一些較難解決的問題迎刃而解。

如何破解柯西不等式應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)呢？解題者應(yīng)立足于已知信息和待求（證）式結(jié)構(gòu)的特征，敏銳地捕捉到這些關(guān)鍵結(jié)構(gòu)，并對這些結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，分析常量與變量之間的關(guān)系，加以思考、處理，靈活應(yīng)對。

一、二維形式的柯西不等式

（1）若a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時，等號成立。

（2）（向量形式）設(shè)α、β是兩個平面向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ時，等號成立。

（4）（三角不等式Ⅱ）若x1、y1、x2、y2、x3、y3∈R，

分析二維形式的柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2的左邊是的結(jié)構(gòu)，而右邊是的結(jié)構(gòu)，即，已知信息a2+b2=5，ma+ nb=5中的代數(shù)式ma+nb為乘積之和，具有柯西不等式右邊代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，而已知信息中的代數(shù)式a2+b2與待求最值的代數(shù)式顯然都含有平方和，具有柯西不等式左邊兩個代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，因此令即可。

解析由柯西不等式得（a2+b2）（m2+n2）≥（ma+nb）2，當(dāng)且僅當(dāng)an=bm時，等號成立。

點(diǎn)評 在運(yùn)用柯西不等式時，我們要著眼于已知信息與待解（證）式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造出柯西不等式的形式。

例2已知x、y∈R，3x2+2y2≤6，求2x+y的最值。

解析由柯西不等式可得：

點(diǎn)評 本例展示了柯西不等式的變形應(yīng)用?？挛鞑坏仁绞且粋€十分重要的解題工具，在應(yīng)用時，我們要善于構(gòu)造出柯西不等式的形式，配湊系數(shù)，合理變化關(guān)系式，并注意等號成立的條件。

二、三維形式的柯西不等式

（1）若a1、a2、a3、b1、b2、b3都是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)bi=0（i=1，2，3）或存在實(shí)數(shù)k，使ai=kbi（i=1，2，3）時，等號成立。

（2）（向量形式）設(shè)α、β是兩個空間向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ時，等號成立。

例4設(shè)x、y、z∈R，若x-2y+z=4。

（1）求x2+y2+z2的最小值。

（2）求x2+（y-1）2+z2的最小值。

（1）已知信息x-2y+z=4中的x-2y+z可以視為乘積之和，

即1×x+（-2）×y+1×z，具有柯西不等式右邊代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，

待求最值的代數(shù)式x2+y2+z2顯然是平方和的結(jié)構(gòu)，具有柯西不等式左邊代數(shù)式之一的結(jié)構(gòu)，

因此，可令■=x，●=y，▲=z，

而已知信息x-2y+z=4中，x、y、z的系數(shù)分別為1、-2、1，

相應(yīng)的，令□=1，○=-2，△=1，

所以，［12+（-2）2+12］（x2+y2+z2）≥［1×x+（-2）×y+1×z］2，

即6（x2+y2+z2）≥（x-2y+z）2=16，

（2）待求最值的代數(shù)式x2+（y-1）2+z2顯然也是平方和的結(jié)構(gòu)，具有柯西不等式左邊代數(shù)式之一的結(jié)構(gòu)，

而已知信息x-2y+z=4中，x、y、z的系數(shù)分別為1、-2、1，

相應(yīng)的，令□=1，○=-2，△=1，

所以，［12+（-2）2+12］［x2+（y-1）2+z2］≥［1×x+（-2）×（y-1）+1×z］2，

即6［x2+（y-1）2+z2］≥（x-2y+z+2）2=36，

故x2+（y-1）2+z2≥6，

當(dāng)且僅當(dāng)x=z=1，y=-1時，等號成立。

所以x2+（y-1）2+z2的最小值為6。

點(diǎn)評我們在運(yùn)用柯西不等式時，不僅要注意它的數(shù)學(xué)意義，還要注意它的外在形式。當(dāng)一個代數(shù)式與柯西不等式的左邊或右邊具有一致的形式時，就可以考慮利用柯西不等式對這個式子進(jìn)行縮小或放大。

例5%設(shè)a、b、c∈R*。

解析%（1）由柯西不等式，得

（2）由柯西不等式，得

三、n維形式的柯西不等式