均值不等式和柯西不等式攜手同行探求多元最值

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

均值不等式和柯西不等式是兩個(gè)著名的不等式，它們?cè)诮鉀Q有關(guān)數(shù)學(xué)問題的過程中，各自發(fā)揮了重要的作用.但是，對(duì)一些多元函數(shù)最值問題，特別是一些比較復(fù)雜的多元函數(shù)的最值問題，如果想到使它倆能夠攜手同行應(yīng)對(duì)，便可發(fā)揮更大的威力.本文舉例說明，如何讓均值不等式與柯西不等式攜手同行探求多元函數(shù)的最值問題時(shí)產(chǎn)生更大的效果.

=(1+4)2=25，

①≤(x2+y2)[(1-y2)+(1-x2)](運(yùn)用二維柯西不等式)

由均值不等式，得

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，上式等號(hào)成立.

又由柯西不等式及①式，得

=(ab+bc+ac)2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)，①處，②處的等號(hào)同時(shí)成立.

解注意到，x4+y4≥x3y+xy3=xy(x2+y2)，由均值不等式，得

(x4+y4)(xy+z2)3≥xy(x2+y2)(xy+z2)2(xy+z2)≥xy(x2+y2)·4xyz2·(xy+z2)=4x2y2z2·(x3y+xy3+y2z2+z2x2)≥4x2y2z2(2x2y2+y2z2+z2x2).

令a=xy，b=yz，c=zx，a>0，b>0，c>0，則

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，即x=y=z時(shí)，以上各式等號(hào)均成立.

評(píng)注以上解答除了多次用到均值不等式和柯西不等式外，還應(yīng)用了排序不等式，因此，這是一道高難度的競賽題.

最后，特別強(qiáng)調(diào)，讓均值不等式和柯西不等式攜手共同探求多元函數(shù)的最值時(shí)，一定要關(guān)注等號(hào)是否會(huì)同時(shí)成立.