柯西不等式的推論的應用

劉振興

(佛山市第一中學，廣東 佛山 528000)

柯西不等式的推論的應用

劉振興

(佛山市第一中學，廣東 佛山 528000)

柯西不等式是一個非常重要的不等式，它以其形式對稱和諧美的結構引起了許多學者的研究,并出現(xiàn)了許多的推論變式.應用柯西不等式的推論，可以簡單解決許多競賽中的不等式問題,并且對這些不等式問題可進行推廣.

柯西不等式；推論；推廣

一、柯西不等式及其推論

柯西不等式:設ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則

當且僅當ai=λbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.

二、柯西不等式的推論的應用

a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2≥[(1-t)a+(2-t)b+(3-t)c+(4-t)d+t(a+b+c+d)]2/[(1-t)2+(2-t)2+(3-t)2+(4-t)2+t2]

對例1可進行維數的推廣.

證明根據柯西不等式，類似例1過程得

在解決有些不等式問題時,我們要多次使用柯西不等式的推論.

解由推論1得

令a2+b2+c2=x,由推論1得

所以f(x)在[3,+)上單調遞增,

對例2可進行如下推廣.

(1)維數的推廣

(2)冪的推廣

(3)線性推廣

綜合(1),(2),(3)可得一般性推廣,并給出證明.

證明由推論1得

[1]卓書月.柯西不等式及其變式的應用[J].民營科技,2011(9):78,162.

G632

A

1008-0333(2017)22-0030-02

劉振興(1989.1-)，男，江西贛州人，二級教師，從事高中數學教學與研究.

責任編輯：楊惠民]