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    淺談構(gòu)造法在柯西不等式中的運(yùn)用

    2021-01-03 10:51:47周維太
    小作家報(bào)·教研博覽 2021年54期
    關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)特征根式柯西

    周維太

    中圖分類(lèi)號(hào):A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):(2021)-54-

    在高中數(shù)學(xué)里,不等式的考查日趨多樣化,而柯西不等式就是其中的一種常見(jiàn)的考查要點(diǎn),但對(duì)于多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō),如何正確地運(yùn)用柯西不等式,如何將不等式構(gòu)造或轉(zhuǎn)化成柯西不等式的形式尤為困難.構(gòu)造法是一種很常用的方法,本文擬通過(guò)對(duì)教學(xué)工作中的一些思考,將柯西不等式的構(gòu)造作一點(diǎn)粗淺的總結(jié),以期拋磚引。

    一、柯西不等式

    等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立(k為常數(shù),)

    證明:構(gòu)造二次函數(shù)

    =

    由構(gòu)造知 ? 恒成立

    又,當(dāng)都為0時(shí)成立,若其不都為0時(shí),則顯然,

    當(dāng)且僅當(dāng) ?即時(shí)等號(hào)成立

    二、柯西不等式的構(gòu)造

    柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式,有非常重要的運(yùn)用意義,但很多問(wèn)題不能直接運(yùn)用,就需要進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換和構(gòu)造,使其在形式上符合柯西不等式的運(yùn)用要求.

    例1 ?設(shè),試求之最小值.

    解:考慮以下兩組向量

    =(2,–1,–2), =(x,y,z),根據(jù)柯西不等式,就有

    將代入其中,得 ?而有故之最小值為4.

    由于柯西不等式有三角形式、多維形式、向量形式,可以考慮用適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行解決.這個(gè)題在用柯西不等式的向量法求解同時(shí),也可用一般形式解決.對(duì)出現(xiàn)的負(fù)號(hào),其處理的方式和正號(hào)一樣,不用區(qū)別化對(duì)待,只需構(gòu)造出柯西不等式即可.

    例2 ?若x,y,z為實(shí)數(shù),且,求證:.

    解:根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造兩組數(shù):

    ,因?yàn)?/p>

    所以,所以,

    又因?yàn)?/p>

    所以,

    所以,故有.

    若柯西不等式直接使用,需要對(duì)數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化,拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu),才能應(yīng)用. 因而適當(dāng)變形是我們應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵.注意平方及根式的運(yùn)用,同時(shí)注意數(shù)字或字母的順序要應(yīng)對(duì)柯西不等式中的數(shù)字或字母的順序.

    例3 ?,求證:

    證明:

    利用柯西不等式時(shí)關(guān)鍵問(wèn)題是找出相應(yīng)的兩組數(shù)的關(guān)系 ,當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時(shí),需分析、增補(bǔ)、平方、寫(xiě)根式(特別對(duì)數(shù)字1的增補(bǔ),如a=1·a)變形,為運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件.

    例4 設(shè)正數(shù)

    很有些問(wèn)題本身好像不具備運(yùn)用柯西不等式的條件,但是我們只要改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu),認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征,就可以達(dá)到利用柯西不等式解題的目的.

    例5 已知 [來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

    在這些習(xí)題中,要能夠順利地解決問(wèn)題,就要在對(duì)柯西不等式熟悉的基礎(chǔ)上,為不等式的利用創(chuàng)造條件,進(jìn)行合理地運(yùn)用和轉(zhuǎn)化,讓條件和結(jié)論進(jìn)一步加深它們的關(guān)聯(lián)性.

    綜合本文,可以看到柯西不等式有諸多應(yīng)用技巧,它對(duì)解題具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用和應(yīng)用價(jià)值.通過(guò)對(duì)不等式的構(gòu)造和轉(zhuǎn)化,能避免繁雜運(yùn)算,優(yōu)化解題過(guò)程,提高解題速度,提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

    參考文獻(xiàn)

    [1]陸昌榮 ?《柯西不等式》

    [2]劉翠霞 ?《教科書(shū)資源開(kāi)發(fā)與利用之選修4-5柯西不等式的應(yīng)用》

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