淺談構(gòu)造法在柯西不等式中的運(yùn)用

周維太

中圖分類(lèi)號(hào)：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：（2021）-54-

在高中數(shù)學(xué)里，不等式的考查日趨多樣化，而柯西不等式就是其中的一種常見(jiàn)的考查要點(diǎn)，但對(duì)于多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)，如何正確地運(yùn)用柯西不等式，如何將不等式構(gòu)造或轉(zhuǎn)化成柯西不等式的形式尤為困難.構(gòu)造法是一種很常用的方法，本文擬通過(guò)對(duì)教學(xué)工作中的一些思考，將柯西不等式的構(gòu)造作一點(diǎn)粗淺的總結(jié)，以期拋磚引。

一、柯西不等式

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立（k為常數(shù)，）

證明：構(gòu)造二次函數(shù)

=

由構(gòu)造知 ? 恒成立

又，當(dāng)都為0時(shí)成立，若其不都為0時(shí)，則顯然，

即

當(dāng)且僅當(dāng) ?即時(shí)等號(hào)成立

二、柯西不等式的構(gòu)造

柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，有非常重要的運(yùn)用意義，但很多問(wèn)題不能直接運(yùn)用，就需要進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換和構(gòu)造，使其在形式上符合柯西不等式的運(yùn)用要求.

例1 ?設(shè)，試求之最小值.

解：考慮以下兩組向量

=（2，–1，–2）， =（x，y，z），根據(jù)柯西不等式，就有

即

將代入其中，得 ?而有故之最小值為4.

由于柯西不等式有三角形式、多維形式、向量形式，可以考慮用適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行解決.這個(gè)題在用柯西不等式的向量法求解同時(shí)，也可用一般形式解決.對(duì)出現(xiàn)的負(fù)號(hào)，其處理的方式和正號(hào)一樣，不用區(qū)別化對(duì)待，只需構(gòu)造出柯西不等式即可.

例2 ?若x，y，z為實(shí)數(shù)，且，求證：.

解：根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造兩組數(shù)：

，因?yàn)?/p>

所以，所以，

又因?yàn)?/p>

所以，

所以，故有.

若柯西不等式直接使用，需要對(duì)數(shù)學(xué)式子的形式進(jìn)行變化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)，才能應(yīng)用. 因而適當(dāng)變形是我們應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵.注意平方及根式的運(yùn)用，同時(shí)注意數(shù)字或字母的順序要應(yīng)對(duì)柯西不等式中的數(shù)字或字母的順序.

例3 ?，求證：

證明：

利用柯西不等式時(shí)關(guān)鍵問(wèn)題是找出相應(yīng)的兩組數(shù)的關(guān)系 ，當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時(shí)，需分析、增補(bǔ)、平方、寫(xiě)根式（特別對(duì)數(shù)字1的增補(bǔ)，如a=1·a）變形，為運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件.

例4 設(shè)正數(shù)

很有些問(wèn)題本身好像不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，就可以達(dá)到利用柯西不等式解題的目的.

例5 已知 [來(lái)源：學(xué)科網(wǎng)]

在這些習(xí)題中，要能夠順利地解決問(wèn)題，就要在對(duì)柯西不等式熟悉的基礎(chǔ)上，為不等式的利用創(chuàng)造條件，進(jìn)行合理地運(yùn)用和轉(zhuǎn)化，讓條件和結(jié)論進(jìn)一步加深它們的關(guān)聯(lián)性.

綜合本文，可以看到柯西不等式有諸多應(yīng)用技巧，它對(duì)解題具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用和應(yīng)用價(jià)值.通過(guò)對(duì)不等式的構(gòu)造和轉(zhuǎn)化，能避免繁雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，提高解題速度，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

參考文獻(xiàn)

[1]陸昌榮 ?《柯西不等式》

[2]劉翠霞 ?《教科書(shū)資源開(kāi)發(fā)與利用之選修4-5柯西不等式的應(yīng)用》