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    柯西不等式的推論的應(yīng)用

    2018-05-09 02:57:17劉振興
    數(shù)理化解題研究 2018年1期
    關(guān)鍵詞:柯西佛山市維數(shù)

    劉振興

    (廣東省佛山市第一中學(xué) 528000 )

    一、柯西不等式及其推論

    柯西不等式:設(shè)ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則

    當(dāng)且僅當(dāng)ai=λbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立.

    推論1:設(shè)ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),則

    當(dāng)且僅當(dāng)ai=λbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立.

    二、柯西不等式的推論的應(yīng)用

    由推論1得

    ∴a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2

    對(duì)例1可進(jìn)行維數(shù)的推廣.

    維數(shù)的推廣:

    設(shè)ai∈R(i=1,2,…,n),

    證明根據(jù)柯西不等式,類似例1過(guò)程得

    在解決有些不等式問(wèn)題時(shí),我們要多次使用柯西不等式的推論.

    解由推論1得

    令a2+b2+c2=x,

    由推論1得

    所以f(x)在[3,+)上單調(diào)遞增.

    對(duì)例2可進(jìn)行如下推廣.

    (1)維數(shù)的推廣:

    (2)冪的推廣:

    (3)線性推廣:

    綜合(1),(2),(3)可得一般性推廣,并給出證明.

    證明由推論1得

    參考文獻(xiàn):

    [1]卓書(shū)月.柯西不等式及其變式的應(yīng)用[J].民營(yíng)科技,2011(9):78,162.

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