一類條件為abc=1的不等式

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) (郵編：528454 )

在不等式中,經(jīng)常遇到條件為abc=1的不等式,比如越南不等式專家Can-Hang的一個(gè)經(jīng)典結(jié)論,本文稱之為定理1.

在證明定理1之前,首先給出本文要用到的不等式.

1 三元均值不等式及常見結(jié)論

(2)a、b、c∈R,a2+b2+c2≥ab+bc+ca;

(3)a、b、c∈R,(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c).

2 三元柯西不等式及常見結(jié)論

于是得到以下結(jié)論:

有了結(jié)論1,筆者利用柯西不等式并結(jié)合待定系數(shù)法來證明定理1.

由柯西不等式有

利用定理1,可快速地證明例1.

由xyz=1和定理1得證.

證明由柯西不等式有

(2)經(jīng)過簡(jiǎn)單變形,可得到以下式子:

證明由柯西不等式有

利用柯西不等式證明此類條件為abc=1的不等式的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)應(yīng)用柯西不等式的條件,配合一定的變形、構(gòu)造技巧,這樣可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,達(dá)到事半功倍的效果.若所證不等式的結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單,注意到柯西不等式的結(jié)論中分子部分的指數(shù)為偶數(shù),此時(shí)無需利用待定系數(shù)法,經(jīng)過簡(jiǎn)單嘗試和配湊即可利用柯西不等式變形,并利用結(jié)論1或均值不等式解決問題.

證明由柯西不等式有

證明由柯西不等式有

證明由柯西不等式有

證明由柯西不等式有

所以不等式得證.

不等式證明往往沒有通法,也沒有固定的模式,方法巧妙而靈活.均值不等式和柯西不等式是兩個(gè)非常重要的不等式,也是證明其他不等式常用的方法和工具.下面再給出幾個(gè)條件為abc=1的不等式問題,并利用均值不等式和柯西不等式來證明.

證明由柯西不等式，有

故不等式得證.

下面摘選一些條件為abc=1的不等式,留給有興趣的讀者.

設(shè)a、b、c>0,且abc=1,證明: