從一道高考圓錐曲線解答題談解析幾何備考策略

甘肅省秦安縣第二中學(xué) (郵編：741600)

甘肅省秦安縣郭嘉鎮(zhèn)槐川初級(jí)中學(xué) 劉娟娟 (郵編：741600)

2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷Ⅲ理科第20題總體上保持了近幾年來(lái)的命題特色，是一道直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，以中點(diǎn)弦問(wèn)題為依托，主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及等差數(shù)列，體現(xiàn)了高考試題在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，也考查了考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).其中第(Ⅰ)問(wèn)容易入手，第(Ⅱ)問(wèn)難度較大，前后兩問(wèn)之間有很好的梯度性，具有很好的選拔功能.本文對(duì)這道試題進(jìn)行解法、源頭和變式探究，并結(jié)合這道試題來(lái)談一下解析幾何的備考策略.

1 真題再現(xiàn)

2 解法探究

證法2 設(shè)直線l的方程為y=kx+t，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

(4k2+3)x2+8ktx+4t2-12=0，

則△=64k2t2-4(4t2-12)(3+4k2)>0，得4k2+3>t2

①

由韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得

因?yàn)閙>0，所以t>0，k<0，且

②

整理可得，(3cos2α+4sin2α)t2+(6cosα+8msinα)t+4m2-9=0，

由t的幾何意義知|MA|=|t1|，|MB|=|t2|，因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓，這個(gè)方程必有兩個(gè)實(shí)根，由根與系數(shù)關(guān)系，得

28x2-56x+1=0，解得

解法賞析第(Ⅰ)問(wèn)的證法1運(yùn)用了點(diǎn)差法，點(diǎn)差法可以看成破解圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的通法；第(Ⅰ)問(wèn)的證法2運(yùn)用了參數(shù)法，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立后運(yùn)用韋達(dá)定理和坐標(biāo)運(yùn)算，發(fā)揮判別式的制約作用；第(Ⅰ)問(wèn)的證法3運(yùn)用了參數(shù)方程法，令人耳目一新.第(Ⅱ)問(wèn)既運(yùn)用了點(diǎn)差法，也運(yùn)用了參數(shù)法，利用等差中項(xiàng)的定義證明了等差數(shù)列，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的思想.從以上可以看出，選擇不同的解法，運(yùn)算的繁瑣程度不同.本題中的運(yùn)算是借助幾何圖形進(jìn)行的代數(shù)運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解析幾何的運(yùn)算通常集“繁、長(zhǎng)、巧”于一體，讓很多同學(xué)望而生畏.究其原因，主要是同學(xué)們?cè)谶\(yùn)算長(zhǎng)度的判斷上出了問(wèn)題：不能預(yù)估選擇的解題方法會(huì)有怎樣的運(yùn)算及運(yùn)算長(zhǎng)度.若在解題過(guò)程中，同學(xué)們能認(rèn)識(shí)到解題環(huán)節(jié)產(chǎn)生的運(yùn)算，并通過(guò)分析進(jìn)行合理的調(diào)控，更深入地理解算理，這樣才可以提高運(yùn)算的靈活性.

3 源頭探究

“問(wèn)題那得清如許，為有源頭活水來(lái)” .以下對(duì)這道題探源，揭開(kāi)這道題的“廬山真面目”.

3.1 源頭1

(1)這組直線何時(shí)與橢圓相交？

(2)當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在一條直線上.

真是“眾里尋它千百度，那題卻在課本習(xí)題處”,也體現(xiàn)了“高考題出于課本，高于課本”.

3.2 源頭2

在歷年高考真題中，也有該高考題的“影子”，2015年全國(guó)高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科第20題為：

已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.

(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

通過(guò)探源，我們發(fā)現(xiàn)這道題既可以看成改編自課本，也可看成改編自歷年高考真題.

4 變式探究

圓錐曲線有太多類(lèi)似的性質(zhì)，可模仿命題者的思路，對(duì)以上試題進(jìn)行改變，得到了一道變式題.

變式已知斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).

(1)證明：k>1；

(y1+y2)(y2-y1)=4(x2-x1)，

因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線C內(nèi)，所以m2<4，結(jié)合m>0，所以01.

(2)由題設(shè)可得F(1,0)，設(shè)P(x0,y0)，

所以x0=1，y0=-2m，

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線C上，所以(-2m)2=4，所以m=1，所以P(1,-2)，k=2.

所以直線l的方程為y-1=2(x-1)，即

y=2x-1，

4x2-8x+1=0，

由根與系數(shù)關(guān)系，可得

5 對(duì)2019年備考策略的建議

5.1 回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

近幾年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題遵循“大穩(wěn)定，小創(chuàng)新”的方針，重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查.同時(shí)，通過(guò)上面對(duì)圓錐曲線真題的分析，發(fā)現(xiàn)源自課本.因此回歸課本應(yīng)貫穿圓錐曲線復(fù)習(xí)的自始至終.因?yàn)檎n本是數(shù)學(xué)知識(shí)的“生長(zhǎng)地”，課本是高考復(fù)習(xí)的“根據(jù)地”，課本是高考試題的“策源地”，回歸課本是高考復(fù)習(xí)的起點(diǎn)，研究課本，就是要看考題與課本的關(guān)系，從高考的要求出發(fā)，把課本熟化，公式定理能信手拈來(lái)，基本題型能“借題發(fā)揮”.在回歸課本的基礎(chǔ)上，要著重強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的梳理、優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

5.2 注重通性通法

高考中解析幾何試題通常是對(duì)常見(jiàn)題型進(jìn)行加工改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的整合、變式和拓展，從而加工為高立意、新情境、巧設(shè)問(wèn)的解析幾何問(wèn)題，堅(jiān)持新題不難，難題不怪的命題方向.這要求同學(xué)們要通過(guò)高中學(xué)習(xí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)教材中基本例習(xí)題的變通，積累一些常規(guī)基本問(wèn)題的解法，反復(fù)體會(huì)其中蘊(yùn)含的思維方法.把解題方法提高到數(shù)學(xué)思想的高度，提高分析和解決綜合問(wèn)題的能力.例如，對(duì)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題，要優(yōu)先考慮點(diǎn)差法；對(duì)于求橢圓離心率的題目，大多要利用數(shù)形結(jié)合法，結(jié)合橢圓的定義求解.對(duì)于拋物線的焦點(diǎn)弦和焦半徑問(wèn)題，要根據(jù)焦點(diǎn)弦公式和焦半徑公式，結(jié)合拋物線定義求解.在求橢圓的弦長(zhǎng)時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式，運(yùn)用設(shè)而不求的方法.

5.3 提高數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

高考數(shù)學(xué)答卷中反映出的問(wèn)題之一是部分考生的運(yùn)算能力差，是最頭疼的事，有的考生想得很好，但運(yùn)算過(guò)不了關(guān)，一道長(zhǎng)題一開(kāi)始就錯(cuò)，而自己沒(méi)有自查能力，一直錯(cuò)到底，多么可怕呀！

而出錯(cuò)的原因往往很簡(jiǎn)單，就是諸如一個(gè)負(fù)號(hào)的問(wèn)題，直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立化簡(jiǎn)整理時(shí)出錯(cuò)，太可惜.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)不僅僅是高三復(fù)習(xí)的事，應(yīng)該貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.特別是解析幾何解答題，綜合性強(qiáng)，代數(shù)推理要求高，運(yùn)算求解能力要求高，繁雜和冗長(zhǎng)的計(jì)算是必不可少的，因此同學(xué)們要通過(guò)強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，特別是函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等理解算理，從而提高自己的運(yùn)算求解能力，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

5.4 研歷年高考真題，體會(huì)命題專(zhuān)家的命題思路

高考試題不僅具有選拔功能，還具有很好的教育功能.高考試題凝結(jié)了命題專(zhuān)家的智慧與匠心，具有較強(qiáng)的原創(chuàng)性與指導(dǎo)意義，有利于考查考生的探究意識(shí)與創(chuàng)新精神.有部分高考試題是往年真題的同類(lèi)題或“翻版”， 因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，對(duì)高考試題進(jìn)行適當(dāng)發(fā)散研究，不僅可以理清脈絡(luò)，把握高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，避免高三復(fù)習(xí)的隨意性、盲目性，而且可以有效訓(xùn)練同學(xué)們自己的思維，提高探究能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

5.5 重視新增知識(shí)，關(guān)注知識(shí)交匯

對(duì)新增的極坐標(biāo)與參數(shù)方程等知識(shí)，要引起足夠的重視，比如，前面真題第(Ⅰ)問(wèn)的證法3就是用參數(shù)方程做的，在高考中如果沒(méi)想到其他方法，選用參數(shù)方程法，也是很好的.同時(shí)，要關(guān)注知識(shí)交匯，本文開(kāi)頭的高考真題，可以看成是解析幾何與向量、等差數(shù)列的交匯，從歷年高考試題來(lái)看，有時(shí)，解析幾何真題也與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等交匯，也充分體現(xiàn)了考試中心提出的“應(yīng)更多地從知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)題目，從學(xué)科的整體意義、思想含義上考慮問(wèn)題”的思想.