轉(zhuǎn)換主元 解放思想

浙江省紹興市上虞區(qū)豐惠中學(xué) (郵編：312361)

絕對(duì)值、不等式、零點(diǎn)、恒成立是高考學(xué)考經(jīng)?？疾榈膯?wèn)題，且經(jīng)常以選擇、填空壓軸題形式出現(xiàn)，解決起來(lái)已經(jīng)不容易.上面幾個(gè)問(wèn)題再加上雙參數(shù)難度就更大了，諸多文獻(xiàn)在解決這些問(wèn)題時(shí)都是圍繞主元“x”展開，且方法多樣，往往需要分類討論，過(guò)程較復(fù)雜.例如2016年4月浙江學(xué)考選擇題壓軸題.

C.(-∞，1] D.(-∞，2]

上面的解法過(guò)程比較復(fù)雜，思維量大，分類比較巧妙，學(xué)生掌握比較困難.我們不妨解放思想，轉(zhuǎn)換主元，把a(bǔ)、b看成主元，把x看成參數(shù).

圖1

解法二轉(zhuǎn)換主元簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，巧妙的避開了學(xué)生較難掌握的分類討論，下面簡(jiǎn)舉幾例.

1 關(guān)于絕對(duì)值不等式成立雙參問(wèn)題

例1 (2018年11月杭州地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高三上期中17)，已知函數(shù)f(x)=lnx-ax-b對(duì)任意的a<0,b∈R都存在x0∈[1,m]使得|f(x0)|≥1成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

解由|lnx0-ax0-b|≥1，得b≤-x0a+lnx0-1，b≥-x0a+lnx0+1,把函數(shù)看成關(guān)于a、b二元一次不等式，x0看成參數(shù)，

評(píng)注本題利用絕對(duì)值性質(zhì)去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)換主元巧妙避開分類討論，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，最后利用線性規(guī)劃解決問(wèn)題.

2 關(guān)于零點(diǎn)存在雙參問(wèn)題

例2 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，且對(duì)任意的t∈[3,4],0≤ta+b≤3則b的最小值為.

解把0≤ta+b≤3看成關(guān)于a、b二元一次不等式，x看成參數(shù)得：

圖3

評(píng)注本題變量多，約束條件多，如果按部就班解題難度較大，如果能解放思想把參數(shù)a、b看成主元,就能化繁為簡(jiǎn)，順利解決問(wèn)題.

例3 (2017年溫州三模17)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R),在區(qū)間[0,1]上有零點(diǎn)，則ab的最大值為.

評(píng)注本題若用二次方程的根與系數(shù)關(guān)系來(lái)處理，情況多樣，處理過(guò)程比較復(fù)雜且難度較大.若能轉(zhuǎn)變思維把a(bǔ)看成主元，問(wèn)題得到極大簡(jiǎn)化.

3 不等式恒成立雙參問(wèn)題

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=2ax2+bx-3a+1,當(dāng)x∈[-4,4]，f(x)≥0恒成立，則5a+b的最小值是.

評(píng)注本題是二次函數(shù)閉區(qū)間上最值問(wèn)題，常規(guī)思路不易解決，變更主元利用線性規(guī)劃，必要條件探路相對(duì)容易解決.

例5 (“超級(jí)全能生”2019年高考選考科目浙江省9月聯(lián)考22) 已知函數(shù)

若f(x)≥ax恒成立，求a+2b的取值范圍.

評(píng)注本題為“超級(jí)全能生”2019年高考選考科目浙江省9月聯(lián)考大題壓軸題，難度極大.用傳統(tǒng)方法解題過(guò)程復(fù)雜，思維量大.如果能解放思想把參數(shù)a、b看成主元，利用線性規(guī)劃知識(shí)，結(jié)合解題過(guò)程中的必要性和充分性，就能化繁為簡(jiǎn)，順利解題.