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    柯西不等式及其在高考中的應(yīng)用

    2017-02-06 06:40:06
    數(shù)理化解題研究 2017年34期
    關(guān)鍵詞:柯西證法橢圓

    韓 芳

    (寧夏銀川市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 750001)

    一、二維形式的柯西不等式形式及其證明

    設(shè)a,b,c,d∈R,則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),取等號(hào).

    證法一(配方法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

    =(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2.

    ∵m·n=ac+bd,且m·n=|m||n|cos〈m,n〉,則|m·n|≤|m||n|.

    ∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

    證法三(構(gòu)造二次函數(shù)法)設(shè)f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+c2+d2,

    ∵f(x)=(ax-c)2+(bx-d)2≥0恒成立.

    ∴Δ=[-2(ac+bd)]2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0,即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

    二、一般形式的柯西不等式及其證明

    設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,則

    當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或?k∈R,ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí),取等號(hào).

    三、柯西不等式在高考中的應(yīng)用

    結(jié)合全國(guó)各省不等式選講這一模塊的選做題,我們發(fā)現(xiàn),陜西、福建、湖北等地考查柯西不等式的居多,而借助柯西不等式解題的難點(diǎn)在于要能把原問(wèn)題變?yōu)檫m合于柯西不等式的各種形式,這就需要抓住應(yīng)用柯西不等式的兩個(gè)主要技巧:一是在于構(gòu)造兩組數(shù);二是結(jié)合題目中的數(shù)值特征,來(lái)拆分柯西不等式中的常數(shù).

    1.求函數(shù)的最值

    例1 (2015·福建卷)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.

    (1)求a+b+c的值;

    解析(1)因|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)

    -(x-b)|+c=a+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí),等號(hào)成立.因?yàn)閒(x)的最小值是4,所以a+b+c=4.

    (2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得

    點(diǎn)評(píng)在解題中,要想使用柯西不等式,就得先理解它的數(shù)學(xué)意義和外在形式,當(dāng)一個(gè)代數(shù)式與柯西不等式的左邊或右邊形式一致時(shí),可考慮利用柯西不等式對(duì)這個(gè)式子放縮.

    例2 (2015年高考數(shù)學(xué)陜西卷,24)已知關(guān)于x的不等式|x+a|

    (1)求實(shí)數(shù)a,b的值;

    解析(1)解得a=-3,b=1.

    點(diǎn)評(píng)作為一種非常重要的解題工具—柯西不等式,其在應(yīng)用求解相關(guān)不等式時(shí),關(guān)鍵在于構(gòu)造出柯西不等式的形式,并注意能取到等號(hào)的條件.

    2.證明不等式

    例3 (2014·浙江卷)設(shè)正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足abc=a+b+c,求證:ab+4bc+9ac≥36,并給出等號(hào)成立條件.

    ∴ab+4bc+9ac≥36,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=3,c=1時(shí),取等號(hào).

    例4 (2017年新課標(biāo)Ⅱ卷,第23題)已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.

    解析(1)由柯西不等式得

    3.證明等式與解方程

    4.在解析幾何中的應(yīng)用

    例6 (2008年高考新課標(biāo)卷Ⅱ理科21題)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),A(2,0),B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).

    (Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.

    靈活巧妙地應(yīng)用柯西不等式,可以使得一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化.通過(guò)以上幾個(gè)方面的應(yīng)用舉例,使我們不僅掌握了柯西不等式在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧,而且了解了高考對(duì)柯西不等式知識(shí)的考查程度,從而,使我們更加科學(xué)和高效地對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)化的復(fù)習(xí).

    [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.?dāng)?shù)學(xué)分析(第三版) [M].北京:高等教育出版社,2001.

    [2]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(數(shù)學(xué)選修4-5)[M].北京:人民教育出版社,2007.

    [3]楊麗英.柯西不等式的證明及應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,42(1):16-20.

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