例談柯西不等式的實(shí)踐運(yùn)用

☉江蘇省宜興市和橋高級(jí)中學(xué)　錢　琳

例談柯西不等式的實(shí)踐運(yùn)用

☉江蘇省宜興市和橋高級(jí)中學(xué)錢琳

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，更是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的重點(diǎn).在教材中，基本不等式屬于必須要求掌握的最簡(jiǎn)單的不等式，除此之外，如柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等在數(shù)學(xué)中有著極為巧妙的運(yùn)用，利用這些不等式能夠巧妙地解決很多其他相關(guān)的知識(shí)，體現(xiàn)了不等式的重要價(jià)值.

柯西不等式和基本不等式類似，其是不等式初學(xué)者必須要掌握的，可以這么說(shuō)，基本不等式與柯西不等式其本質(zhì)是一致的，但柯西不等式的形式化程度更高.n維柯西不等式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，則，當(dāng)且僅當(dāng)bi=0（i=1，2，…，n）或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）時(shí)，該不等式的等號(hào)成立.

它有兩個(gè)重要推論：

柯西不等式是選修教材的新增內(nèi)容，對(duì)于高考不等式難題有著巧妙的解決，更對(duì)競(jìng)賽中的不等式有著較大的指導(dǎo)作用，是經(jīng)典不等式之一，其實(shí)踐運(yùn)用在很多內(nèi)容中均有體現(xiàn).

一、運(yùn)用“=”號(hào)成立條件巧解不等式

評(píng)注：設(shè)向量a=（a1，a2，…，an），b=（b1，b2，…，bn），則柯西不等式等號(hào)成立的充要條件是向量a與b共線，即b= 0，或當(dāng)b≠0時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)k，使得a=kb（特別地，當(dāng)b1，b2，…，bn都不為0時(shí)，該充要條件就是當(dāng)n=2時(shí)，該充要條件就是a1b2=a2b1）.

二、巧求函數(shù)的最值

例3設(shè)a，b，c，d，e，f∈R，且a2+b2+c2=1，d2+e2+f2=2，若p≤ad+be+cf≤q恒成立，求實(shí)數(shù)p，q的取值范圍.

評(píng)注：求解“例3”的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)運(yùn)用柯西不等式的“推論①”可求ad+be+cf的最小值和最大值，方能巧妙達(dá)到求解參數(shù)的取值范圍之目的.特別注意“例3”的常見錯(cuò)解為，從而（ad+導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有考查該不等式的等號(hào)能否成立.實(shí)際上，當(dāng)且僅當(dāng)該不等式的等號(hào)成立.由于該方程組無(wú)解，從而該不等式的等號(hào)不能成立，因此

三、巧證不等式

例4設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為R.

評(píng)注：求解“例4”的關(guān)鍵是：正弦定理與柯西不等式完美結(jié)合，柯西不等式使用還需要一定的湊形.

證明：因?yàn)閍，b，c>0，由柯西不等式可得2（a+b+c）·

b=c時(shí)，該不等式的等號(hào)成立.

評(píng)注：求解“例5”的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)（a+b）+（b+c）+（c+ a）=2（a+b+c）.

四、巧用柯西不等式求值

例6設(shè)a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+ y2+z2=40，ax+by+cz=20.則

解析：由柯西不等式得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+ by+cz）2=202，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即a2+b2+c2=k2（x2+y2+z2），即40k2=10，解得k=.又由等比定理得

評(píng)注：從問(wèn)題條件出發(fā)，顯然具備柯西不等式的湊形，而條件卻以等號(hào)的形式出現(xiàn)，這自然是對(duì)等號(hào)成立條件的判斷使用成為解題關(guān)鍵.

五、利用柯西不等式求范圍

例7設(shè)x、y、z∈R，若（x-1）2+（y+2）2+z2=4，則3x-y-2z的范圍是多少？又3x-y-2z取最小值時(shí)，則x=？

解析：［（x-1）2+（y+2）2+z2］［32+（-1）2+（-2）2］≥（3x-

評(píng)注：柯西不等式使用常見步驟需要進(jìn)行常數(shù)的湊配，這是非常典型的使用技巧，有了常數(shù)的湊配，不等式的使用相對(duì)容易找到所需結(jié)論.

六、利用柯西不等式巧解幾何問(wèn)題

例8過(guò)△ABC內(nèi)一點(diǎn)O引三邊的平行線，DE∥BC，F(xiàn)G∥CA，HI∥AB，點(diǎn)D、E、F、G、H、I都在△ABC的邊上，S1表示六邊形DEFGHI的面積，S2表示△ABC的面積.求證

圖1　

設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，IF=x，EH=y，GD=z，那么①式等價(jià)于

評(píng)注：求解此類問(wèn)題關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化，將平面幾何問(wèn)題用代數(shù)式子寫出來(lái)，再找出柯西不等式所要滿足的條件即可.

總之，柯西不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)教材選修內(nèi)容補(bǔ)充的重要不等式，基本不等式其實(shí)可以看成是二維柯西不等式的二維特殊形態(tài).通過(guò)上述舉例，我們不難發(fā)現(xiàn)要掌握柯西不等式及其實(shí)踐運(yùn)用，要關(guān)注下列幾點(diǎn)要求：（1）關(guān)注柯西不等式二維、三維形態(tài)，從簡(jiǎn)單形式入手去理解和熟練這一重要不等式，文中例1、例2、例5都是其二維形態(tài)的使用，這是初學(xué)柯西不等式的基本要求；（2）從上述實(shí)踐問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)不等式使用的最終目的是為解決最值，而最值取到的重要條件自然是等號(hào)成立的時(shí)刻，因此柯西不等式學(xué)習(xí)的另一關(guān)鍵是如何獲取等號(hào)成立的條件并時(shí)時(shí)刻刻注意對(duì)其正確性的檢驗(yàn)，利用等號(hào)成立的條件，柯西不等式解決了函數(shù)最值、求值、解方程等一系列其他相關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)了知識(shí)使用的廣闊性；（3）從柯西不等式使用的廣闊性，我們不難發(fā)現(xiàn)任何重要的數(shù)學(xué)知識(shí)都不是孤立的、單一的存在著，其必定與很多相關(guān)知識(shí)具備著聯(lián)系，教師的作用在于幫助學(xué)生挖掘知識(shí)的聯(lián)系性，將單一的知識(shí)運(yùn)用到各種不同情境的問(wèn)題、知識(shí)背景中，使知識(shí)的使用呈現(xiàn)多樣性.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2002.

2.袁泉潤(rùn).柯西不等式教學(xué)的淺析［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013（3）.

3.張玉萍.思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育高中版，2013（7）.