一道高考模擬錯(cuò)題的分析與啟示

☉首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué)　馮會(huì)哲　郭文華

一道高考模擬錯(cuò)題的分析與啟示

☉首都師范大學(xué)附屬云崗中學(xué)馮會(huì)哲郭文華

在高三下學(xué)期，筆者選用了北京市東城區(qū)2015年高三三模試卷數(shù)學(xué)文科第17題作為課后作業(yè).講評(píng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)該題第三問有兩種解法，兩個(gè)答案.筆者對(duì)其進(jìn)行研究分析，發(fā)現(xiàn)該題所給條件不足，不完善，導(dǎo)致了結(jié)論的不唯一.本文將詳加論說.

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG.

（1）求證：CE⊥BD；

（2）若BC=CD=CE=2AD=2BG=2，求證：AG∥平面BDE；

（3）求幾何體EG-ABCD的體積.

（北京市東城區(qū)2015年高三三模試卷數(shù)學(xué)文科第17題）

圖1　

二、兩種解法，兩個(gè)答案

此題的第三問，標(biāo)準(zhǔn)答案及部分學(xué)生解答如下：如圖2，連接BG.由于CD⊥BC，平面ABCD⊥平面BCEG，

平面ABCD∩平面BCEG=BC，所以CD⊥平面BCEG.

同理可證BG⊥平面ABCD.

圖2　

也有部分的同學(xué)解答如下：

連接AE，AC，如圖3.

圖3　

學(xué)生提出疑問，這兩種解法看起來都對(duì)，按道理答案應(yīng)該一樣，為什么會(huì)是兩個(gè)答案？哪種解法出錯(cuò)了，錯(cuò)在哪？筆者仔細(xì)分析了題目，添加輔助線后兩種解法都沒有錯(cuò)，而是題目出錯(cuò)了.題目條件給的不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致了兩種解法，兩個(gè)答案.

三、錯(cuò)因分析及題目修正

1.從圖形的角度說明

筆者引導(dǎo)學(xué)生，從數(shù)的運(yùn)算來看，數(shù)值不同；接下來就從形入手，觀察這個(gè)幾何體的形狀.此題所涉及的幾何體為多面體，而題目條件描述的多面體并不唯一.見多面體的定義：若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱.棱與棱的公共點(diǎn)叫多面體的頂點(diǎn)［1］.

此題雖然各頂點(diǎn)都明確了，但是由哪幾個(gè)平面多邊形圍成的？并不明確.此題中直線AE、DG是異面直線.把它們放在棱長為2的正方體模型中，如圖4所示.題目所給的相當(dāng)于從正視圖的方向去看，有些學(xué)生缺乏空間想象的“火眼金睛”判斷不出，筆者借助幾何畫板，把圖4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖5，相當(dāng)于換一個(gè)視角，從左視圖角度去看，學(xué)生很容易判斷出AE、DG是異面直線.A、D、E、G四點(diǎn)不共面，G點(diǎn)不在面ADE上（圖6）；E點(diǎn)不在面ADG上（圖7）.而題目并沒有給出相鄰兩個(gè)面的公共邊，即少給一條棱.所以，涉及這四點(diǎn)的面可能是由面ADE和面AEG圍成的（見圖8），也有可能是由面DEG和面ADG圍成的（見圖9）.

圖4　

圖5　

圖6　

圖7　

圖8　

圖9　

學(xué)生由于空間想象能力不足，誤認(rèn)為A、D、E、G這四個(gè)點(diǎn)是共面的，才會(huì)覺得兩個(gè)解法應(yīng)該有同一個(gè)答案.而該題所給條件能畫出兩個(gè)滿足題意的多面體，而這兩個(gè)多面體的形狀是不同的，體積也是不同的.學(xué)生的兩種解法實(shí)際求的是不同的幾何體，所以答案是不同的.

2.從理論層面說明

教師引導(dǎo)學(xué)生，僅從形上觀察出A、D、E、G四點(diǎn)不共面還不夠.擺在桌子上的幾何體實(shí)物，同學(xué)們可以圍著它從不同角度觀察；畫在試卷上的幾何體，同學(xué)們作答時(shí)既不方便做到換一個(gè)角度去觀察它（就像圖4到圖5），也不能借助幾何畫板來畫圖.這就需要我們煉就“火眼金睛”，從題目給的圖1上就能看出A、D、E、G四點(diǎn)不共面.這就需要同學(xué)們有一定的知識(shí)儲(chǔ)備，了解相關(guān)的理論依據(jù).

帶著學(xué)生復(fù)習(xí)以下結(jié)論并給出證明.

結(jié)論：設(shè)a、b是兩條異面直線，在直線a上任取兩點(diǎn)A、B，在直線b上任取兩點(diǎn)C、D，則直線AC、BD仍然是異面直線.

證明：假設(shè)直線AC、BD不是異面直線，則AC、BD共面，則AB、CD共面，即a、b共面，這與已知條件a、b是兩條異面直線矛盾.所以，假設(shè)不成立，所以直線AC、BD是異面直線.

此題中，直線AD、EG是異面直線，顯然直線EA、DG是異面直線，若同學(xué)們熟悉此結(jié)論，很容易根據(jù)題干中圖1判斷出A、D、E、G這四個(gè)點(diǎn)是不共面的，這個(gè)多面體的形狀沒描述清楚，體積不唯一.

3.題目的修正

題目的修正，包括兩部分：圖形的修正和題干部分的修正.圖形部分需要再添加一條棱，AE或DG，就能確定幾何體的形狀，答案也就唯一了.

題干文字部分也需要改，第（2）問的條件之前有“若”字，這說明條件只適用這一問.條件“BC=CD=CE=2AD= 2BG=2”出現(xiàn)在題干中，第（3）問才可以用.這也是學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)，是該強(qiáng)調(diào)的地方.平時(shí)練習(xí)中，不少學(xué)生誤把小前提的條件用到下一問，而惋惜失分.

所以本題題干文字部分應(yīng)該改為：

如圖1，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG.BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（1）求證：CE⊥BD；

（2）求證：AG∥平面BDE；

（3）求幾何體EG-ABCD的體積.

或改為：如圖1，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面BCEG.

（1）求證：CE⊥BD.

（2）若BC=CD=CE=2AD=2BG=2，

①求證：AG∥平面BDE；

②求幾何體的體積.

四、幾點(diǎn)啟示

1.重視概念

學(xué)生用兩種方法，得到兩個(gè)答案之后，找不出問題出在哪里.筆者講評(píng)時(shí)指出實(shí)質(zhì)是學(xué)生對(duì)多面體的概念掌握得不牢.誤以為多面體的頂點(diǎn)確定了，幾何體的形狀就確定了.實(shí)質(zhì)上，圍成多面體的平面多邊形確定了，幾何體的形狀才能確定.最終是回歸定義之后，問題才得以解決.筆者強(qiáng)調(diào)，高三的后期復(fù)習(xí)，學(xué)生不僅要做題，也要回歸課本，熟悉基本的概念、定義.

2.強(qiáng)調(diào)長方體模型的重要作用

A、D、E、G這四個(gè)點(diǎn)是不共面的，過E作AD的平行線EF，G點(diǎn)不在面ADEF上.通過以下圖10和圖11的對(duì)比，學(xué)生很清楚地看到借助長方體模型更直觀.在這個(gè)題的分析過程中，學(xué)生多次感受到以長方體模型為載體，更直觀、更好理解.筆者適時(shí)強(qiáng)調(diào)長方體模型的工具性作用.長方體是立體幾何學(xué)習(xí)中的基本幾何體，其中蘊(yùn)含了點(diǎn)、線、面的對(duì)稱、相等、平行、垂直等數(shù)量和位置關(guān)系，是展開空間想象的重要載體.

圖10　

圖11　

為了突出長方體模型的重要作用，筆者拿前兩天學(xué)生剛做過的一道高考題舉例說明.

（2014·湖北卷文7）在如圖12所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）.給出編號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）

圖12　

A.①和②B.①和③C.③和②D.④和②

這道題與以往的三視圖題目不同，以往的幾何體大多數(shù)都是水平放置的，而這個(gè)四面體是架空在空間的，考查學(xué)生的空間想象能力.學(xué)生憑空去想，很難想象出這個(gè)幾何體的形狀和它的三視圖，而借助正方體模型，如圖13，有了三視圖需要的幾個(gè)投影面，和與這些面垂直、平行的線，三視圖則迎刃而解.有學(xué)生感嘆：我們沒有空間想象的“火眼金睛”，然而何其有幸，我們有長方體模型.文［3］中也強(qiáng)調(diào)了長方體作為背景模型在解題中的奇效，利用長方體模型，提升了學(xué)生的空間想象能力.

圖13　

在教學(xué)中遇見了錯(cuò)題，筆者并沒有直接翻篇到下一題，也沒有一帶而過.筆者引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度對(duì)比了計(jì)算結(jié)果，利用幾何畫板，讓學(xué)生從形的角度直觀感受了原因，再上升到理論層面，給出理論支撐.講完，學(xué)生感到很有收獲.錯(cuò)題有錯(cuò)題的價(jià)值.通過這個(gè)題，學(xué)生認(rèn)識(shí)到后續(xù)的復(fù)習(xí)應(yīng)該多注意概念，也對(duì)長方體模型的工具作用有了更深刻的體會(huì).

1.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.劉岳.一道中考錯(cuò)題的分析與啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（1-2）.

3.金偉兵.題高一尺技高一丈——立體幾何三視圖、直觀圖新題“破題法門”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（3）.