恰到好處：談綜合題命制中的增加層次——以2016年四川成都卷第28題為例

☉江蘇省連云港市黑林中學(xué)　許銀銀

恰到好處：談綜合題命制中的增加層次——以2016年四川成都卷第28題為例

☉江蘇省連云港市黑林中學(xué)許銀銀

中考?jí)狠S題承載了區(qū)分選拔功能，命題組專(zhuān)家們常常要根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和大樣本下學(xué)情的了解，設(shè)計(jì)出有難度、富有挑戰(zhàn)的壓軸題.值得多數(shù)人認(rèn)同的壓軸題風(fēng)格是簡(jiǎn)潔好懂、富有生長(zhǎng)、少算多思，又要嚴(yán)守國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)的剛性要求.然而每年中考試卷出來(lái)之后，我們總能見(jiàn)到有些地區(qū)由于命題組的“個(gè)人喜好”，置教學(xué)導(dǎo)向和課標(biāo)要求于不顧，無(wú)度鏈接高中解析幾何的知識(shí)點(diǎn)，使得提前補(bǔ)充過(guò)高中階段解析幾何性質(zhì)的考生“沾了大光”，而嚴(yán)守課標(biāo)的師生陷入初中繁雜解法的構(gòu)造與運(yùn)算之中.本文關(guān)注一道2016年壓軸題，先給出思路突破，再跟進(jìn)命題商榷和變式打磨.

一、考題及思路突破

考題（2016年四川成都）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x+1）2-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H的直線l交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè).

圖1

（1）求a的值及點(diǎn)A、B的坐標(biāo).

（2）當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分時(shí)，求直線l的函數(shù)表達(dá)式.

（3）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否成菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路突破：

（2）在進(jìn)入面積比為3∶7的兩部分的探索之前，先算出四邊形ABCD的面積.由于拋物線的解析式在上一問(wèn)中已明確為可很快確定頂點(diǎn)所以

接下來(lái)利用直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7的兩部分，分析可知直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：①如圖2，直線l與AD交于點(diǎn)M；②如圖3，直線l與BC交于點(diǎn)M.

圖2　

圖3　

由于直線l將四邊形ABCD分為面積比為3∶7，所以其中一部分面積為四邊形ABCD面積的即在圖2或圖3中，△AMH、△BMH的面積為3，即AH、BH邊上的高為2.以下分類(lèi)說(shuō)明.

情況1：如圖2，當(dāng)直線l與AD交于點(diǎn)M時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，由上面的分析，可得MN=2.利用MN∥DH帶來(lái)的△AMN～△ADH，得比例式，可解得AN=2，ON=2，則M（-2，-2）.設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，由于l過(guò)M（-2，-2）、H（-1，0），則解得所以直線l的解析式為y=2x+2.

情況2：如圖3，當(dāng)直線l與BC交于點(diǎn)M時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則類(lèi)似地，利用△BMN～△BCO，得，則所以所以設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，由于l過(guò)H（-1，0），則解得即直線l的解析式為

另解反思：由上面的分析，還可將兩種情況統(tǒng)一在圖4中，作直線y=-2交AD、BC于M1、M2，這也是兩個(gè)符合要求的點(diǎn)M.

圖4　

圖5　

（3）構(gòu)造圖5這樣的可能的圖形輔助分析.

由線段PQ的中點(diǎn)為M，四邊形DMPN若為菱形，有DN∥=MQ.設(shè)直線ND的解析式為y=kx+b1，由D（-1，-3），得-3=-k+b1，所以b1=k-3，所以直線ND的解析式為y=kx+ k-3.由，解得xN=3k-1，即N（3k-1，3k2-3）.

類(lèi)似地，再設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b2.由H（-1，0），得y=kx+k.由得則x1+所以所以.再結(jié)合，可得xM-xN=xQ-xD，即解得所以所以.再驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，此時(shí)DN∥PM且四邊形DMPN為菱形.

綜上，以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形，當(dāng)四邊形DMPN為菱形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為

另解思考：如圖5，也可先從直線PQ的解析式入手，設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），且過(guò)點(diǎn)H（-1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b.-k+b=0，則b=k，則y=kx+k.由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有x1+x2=-2+3k.y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2.由于點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)

假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)，則直線DN∥PQ.設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k-3.

二、導(dǎo)向之思與命題商榷

靜心演算之后，筆者深感這道試題的繁雜，根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，若非人群中前5%的優(yōu)秀學(xué)生，要想在考場(chǎng)限時(shí)獨(dú)立的背景下圓滿(mǎn)解題是很難的.特別是第（3）問(wèn)，如果熟悉高中階段解析幾何中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與拋物線交點(diǎn)的靈活處理等“高位知識(shí)”，則可以快速獲得思路貫通，進(jìn)入運(yùn)算求解，使得“多想少算”的命題追求大打折扣.以下本著個(gè)人命題研究的興趣，圍繞該考題給出變式改編.

改編題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y= a（x+1）2-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為D.

（1）求四邊形ABCD的面積；

（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上取點(diǎn)G，當(dāng)△BCG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H，拋物線上有一點(diǎn)P，若直線PH將四邊形ABCD的面積分成3∶7兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

改編意圖：將原考題第（3）問(wèn)刪減，主要是原問(wèn)過(guò)分鏈接拓展了高中階段的解析內(nèi)容，如果僅從初中階段教材上的解法來(lái)處理，又顯得力量不夠.而將原題的第（2）問(wèn)進(jìn)行適度放開(kāi)，使得點(diǎn)P有4個(gè)可能的位置，也達(dá)到了區(qū)分選拔的功能.

三、結(jié)束語(yǔ)

綜合題命制是一個(gè)經(jīng)典話題，初中數(shù)學(xué)考卷解答題的最后一道通常是大綜合，往往選擇一個(gè)開(kāi)闊的平臺(tái)，融入一些新的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)，漸次生長(zhǎng)，拓展挑戰(zhàn)，供高層次學(xué)生展示解題實(shí)力.就本文想表達(dá)的觀點(diǎn)來(lái)看，在增設(shè)條件或增加解題層次時(shí)，一定要注意恰到好處，而不能陷入“惡性生長(zhǎng)”的無(wú)度地步，那樣既影響了試題的內(nèi)容效度，也影響教學(xué)導(dǎo)向和數(shù)學(xué)面貌.從這個(gè)意義上說(shuō)，茲事體大，而非細(xì)節(jié)，也非小事，不容忽視.

1.王東.從“形聚”到“神似”：大題命制的一種追求——2016年鹽城卷第28題思路突破與命題反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.周紅娟.開(kāi)放與放開(kāi)：概念生成與例題變式的教學(xué)追求——從“三角形內(nèi)角和”教學(xué)說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.Z