柯西不等式的多視角證明及應(yīng)用

陜西省商洛市洛南縣西關(guān)中學(xué)(726100) 冀建軍 王 偉

柯西不等式是高考必考內(nèi)容和高頻考點(diǎn),運(yùn)用柯西不等式解決相關(guān)求值、不等式證明、求最值等問題可以起到事半功倍的效果.學(xué)生對柯西不等式大多停留在識記公式層面,能進(jìn)行直接應(yīng)用,但遇到具體問題情境,意識不到用柯西不等式,不能進(jìn)行知識遷移,束手無策,只能放棄,其關(guān)鍵是對公式內(nèi)涵理解不夠,對公式相關(guān)變形及幾何意義達(dá)不到“創(chuàng)新型理解”.

1.柯西不等式的形式

柯西不等式一般形式為:設(shè)ai,bi∈R,則即對于(a1b1+a2b2+···+anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi時(shí)等號成立.

(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.

1.1 基本不等式是柯西不等式的特殊形式

對任意a、b∈R,由柯西不等式有,(a2+b2)(b2+a2)(ab+ba)2,即a2+b22ab.由(12+12)(a2+b2)(a+b)2,即可得

當(dāng)a、b∈R+時(shí),即或者即即當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立.由可得,即

1.2 柯西不等式的實(shí)質(zhì)

柯西不等式反映的是任意兩組實(shí)數(shù)ai、bi(i=1,2,···n),其對應(yīng)項(xiàng)“相乘”之后“求和”再“平方”這三種運(yùn)算不滿足交換律,即先各自“平方”之后“求和”再“相乘”,運(yùn)算的結(jié)果不會(huì)變小[1].

1.3 柯西不等式的幾何解釋

圖1

2.柯西不等式的證明

證明過程是揭示各個(gè)量之間關(guān)系的過程,是對不等式內(nèi)涵以及交融知識的理解.以二維柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2的證明為例.

2.1 不等式證明視角

證法1(作差比較)

(a2+b2)(c2+d2)?(ac+bd)2=(ad?bc)20,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號成立,即證.

證法2(作商比較)

證法3(綜合法)

(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad?bc)2(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號成立,即證.

證法4(分析法)

要證(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,即證a2d2+b2c2?2abcd0,即證(ad?bc)20,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號成立.

證法5(反證法)

假設(shè)(a2+b2)(c2+d2)<(ac+bd)2成立,即(ad?bc)2<0,這不可能,即假設(shè)錯(cuò)誤,原不等式成立.

2.2 向量視角

證法6設(shè)則而則有此時(shí)等號成立條件是共線.此法也適宜于證明n維柯西不等式.

2.3 函數(shù)方程視角

證法7當(dāng)a,b全為0時(shí),不等式顯然成立.當(dāng)a,b不全為0時(shí),類比一元二次方程判別式結(jié)構(gòu),構(gòu)造函數(shù)f(t)=(a2+b2)t2+2(ac+bd)t+(c2+d2),由于對任意t∈R,f(t)=(at+c)2+(bt+d)20,則[2(ac+bd)]2?4(a2+b2)(c2+d2)0,即(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)f(t)=0時(shí),即(at+c)2=(bt+d)2=0,此時(shí)時(shí)等號成立,即證.

若令f(t)=(a1t+b1)2+(a2t+b2)2+···+(ant+bn)20,可證n維柯西不等式的一般形式.

證法8設(shè)a2+b2=m0,c2+d2=n0,則即ac+bd即證.

2.4 解析幾何視角

證法9如圖2,設(shè)A(a,b),表示B(c,d)到直線ax+by=0的距離,由于過原點(diǎn)與直線OA垂直的直線方程為ax+by=0,且點(diǎn)B到直線ax+by=0的距離不大于|OB|,即即當(dāng)且僅當(dāng)O、B、A三點(diǎn)共線即時(shí)等號成立.

圖2

2.5 復(fù)數(shù)視角

證法10設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,則z1z2=(ac?bd)+(ad+bc)i,由于|z1z2|=|z1|·|z2|=同 時(shí)即:即(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號成立.

3.柯西不等式的應(yīng)用

3.1 利用等號成立條件求值

例1已知x,y,z∈R,且滿足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=求x+y+z的值.

解由柯西不等式:(x+2y+3z)2(x2+y2+z2)(12+22+32),即(x+2y+3z)214(x2+y2+z2),根據(jù)題設(shè)等號成立,則代入可求,即即

例2已知x,y,z,a,b,c∈R+,且x2+y2+z2=40,a2+b2+c2=10,ax+by+cz=20,求的值.

解由已知,(ax+by+cz)2=(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=400,而x,y,z,a,b,c∈R+,根據(jù)柯西不等式,(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)等號成立條件為則(a2+b2+c2)=k2(x2+y2+z2),即10=40k2,即故

例3解方程

解利用柯西不等式有

評注例1中三個(gè)變量兩個(gè)方程,常規(guī)方法不易直接求x,y,z旳值;例2中雖三個(gè)變量三個(gè)方程,但有交叉項(xiàng);例3可采取移項(xiàng)兩次平方求解,運(yùn)算麻煩,但利用柯西不等式等號成立條件求解簡捷方便.例3中也可運(yùn)用目的配湊消去x.

3.2 利用柯西不等式證明

例4已知a,b,c都是正數(shù),且a+b+c=1,求證:

證明由柯西不等式知,

即

又

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號.

評注運(yùn)用柯西不等式關(guān)鍵是“配湊”形式,充分利用已知條件.當(dāng)出現(xiàn)分式和的形式時(shí),一般構(gòu)造分式分母和作為因式.

3.3 利用柯西不等式求最值

例5設(shè)x,y∈R,若4x2+xy+y2=1,則2x+y的最大值____.

解4x2+xy+y2=1即由柯西不等式(2x+y)2,即

評注有交叉項(xiàng)xy,以x為主元,構(gòu)造平方和形式.要出現(xiàn)2x+y,給乘以1,給乘以得到相加即得.

例6設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,am+bn=5,則的最小值為____.

解法1設(shè)點(diǎn)A(m,n),由am+bn=5知,點(diǎn)A(m,n)在直線ax+by=5上,而最小即OA的最小值.由垂線段最短知,當(dāng)且僅當(dāng)OA與直線ax+by=5垂直即an=bm時(shí)取最小值.

解法2由柯西不等式,(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2,即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.

評注解法1也是對解法2的推導(dǎo)和解釋.

例7設(shè)a,b,c∈R,且a+b+c=2,a2+2b2+3c2=4,求a的取值范圍.

解分離變量a,由a+b+c=2即得b+c=2?a,由a2+2b2+3c2=4即得2b2+3c2=4?a2,由柯西不等式有:即5(4?a2) 6(2?a)2,即

評注在多變量關(guān)系中,求一個(gè)變量的取值范圍,可先將目標(biāo)變量分離,再運(yùn)用柯西不等式通過非目標(biāo)變量關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)變量的關(guān)系.

柯西不等式是解決多變量關(guān)系的利器,反映了兩組實(shí)數(shù)“先平方后求和再求積”與“對應(yīng)項(xiàng)之積求和再平方”的關(guān)系,要通過從不同視角對不等式的證明領(lǐng)悟柯西不等式在交融知識的應(yīng)用,能在具體問題情境中應(yīng)用柯西不等式簡化問題的解決過程.