例談圓錐曲線中計(jì)算問題的優(yōu)化處理*

廣東省廣州市增城區(qū)增城中學(xué)(511300) 鄧 城

一、問題的提出

在解析幾何問題中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)方法有了,但卻難以計(jì)算下去的問題.不可否認(rèn)有些解析幾何的題目計(jì)算量本身就比較大,但一般來說高考題和大部分省市的模擬題都是會(huì)控制純計(jì)算的難度的,出現(xiàn)計(jì)算不下去的原因主要是解題思路不夠合理、運(yùn)算方法不夠優(yōu)化.而要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)應(yīng)基于學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),選擇有代表性的、難度適中的題目讓學(xué)生嘗試從多角度思考運(yùn)算問題的優(yōu)化處理.下面筆者選取教學(xué)實(shí)踐中碰到的案例進(jìn)行剖析,借此拋磚引玉.

二、案例的剖析

例1(2017年鄭州市模擬考試)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C,且|BC|=|CF2|,則雙曲線的漸近線方程為( )

A.y =±3x B.y =±2x

分析先來看看下面這種網(wǎng)上看到的參考解法.因?yàn)檫^F1作圓x2+y2=a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C, 且|BC|=|CF2|, 所以|BF1|=2a.設(shè)B(x,y),則利用三角形的相似可得所以所以代入雙曲線方程,整理可得所以雙曲線的漸近線方程為

這個(gè)方法看上去挺常規(guī)的,可以說前半部分求出B 點(diǎn)坐標(biāo)的方法是非常簡捷的,而將B 點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程進(jìn)而確定a 與b 的關(guān)系似乎也是常見的方法.然而真正親自計(jì)算后卻發(fā)現(xiàn)非常復(fù)雜,很難算出答案來! 事實(shí)上將圓錐曲線上的點(diǎn)先用其它條件表示出來,然后代入曲線的方程,這種方法有時(shí)存在計(jì)算難度增加的風(fēng)險(xiǎn),比如本題中B 點(diǎn)坐標(biāo)已經(jīng)出現(xiàn)了較為復(fù)雜的分式形式,代入曲線方程時(shí)還要進(jìn)行平方和除法等運(yùn)算,導(dǎo)致出現(xiàn)高次方程,可以說是人為增加了計(jì)算難度.所以從優(yōu)化計(jì)算的角度出發(fā),應(yīng)盡量避免代入圓錐曲線方程.此時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意到: 將點(diǎn)代入曲線方程的本質(zhì)就是相當(dāng)于使用了點(diǎn)在曲線上這個(gè)核心條件,那么其替代方案可以是使用圓錐曲線的第一定義或第二定義.

而應(yīng)用第一定義處理則有如下過程:

由|BF2|?|BF1|=2a 得2a=2a,化簡得4a2b2+4a4=16a2(a2+b2),4c4?8c2ab=12a2(a2+b2),或(舍去),此解法的計(jì)算量要比用第二定義的解法要大一些,但還是比原解法要靠譜些.

例2已知橢圓= 1(a > b > 0)經(jīng)過點(diǎn)一個(gè)焦點(diǎn)是F(0,?1).

(1) 求橢圓C 的方程.

(2) 設(shè)橢圓C 與y 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1,A2(A1在A2上方),點(diǎn)P 在直線y=a2上,直線PA1,PA2分別與橢圓C交于M,N 兩點(diǎn).試問: 當(dāng)點(diǎn)P 在直線y=a2上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線MN 是否恒過定點(diǎn)Q? 證明你的結(jié)論.

分析本題的難點(diǎn)在于第二問.證明直線是否過定點(diǎn)問題屬于圓錐曲線中的經(jīng)典問題,并且往往有幾種解法,然而在不同的題目條件下,不同解法之間的難度是不一樣的,在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分體會(huì)各種解法的適用性,學(xué)會(huì)根據(jù)具體條件選擇合適的解法.為了讓學(xué)生有更加深入的對(duì)比,可以先展示更為基礎(chǔ)卻又十分經(jīng)典的一道題.

題目已知拋物線C 的方程為y2=4x,過原點(diǎn)O 作兩條相互垂直的直線分別與拋物線C 交于A、B 兩點(diǎn),試問直線AB 是否恒過一定點(diǎn)Q?

思路1先表達(dá)出A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo), 再表達(dá)出直線AB 的方程, 然后通過方程判斷直線AB 是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).解答如下: 由題意可知直線OA、OB 的斜率存在, 設(shè)直線OA 的斜率為k, 則OB 的斜率為=kx,聯(lián)立解得同法解得B(4k2,?4k), 所以故可得直線AB 的方程為整理可得所以直線AB 恒經(jīng)過點(diǎn)Q(4,0).

思路2同上法解得同法解得B(4k2,?4k),接下來先縮小點(diǎn)Q 的范圍, 考慮到當(dāng)k=1 時(shí), A(4,4),B(4,?4), 直線AB 的方程為x=4, 若直線AB 恒過一定點(diǎn)Q, 則Q 點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(4,m), 且kQA=kQB, 即得解得m=0,所以直線AB 恒經(jīng)過點(diǎn)Q(4,0).

思路3先表達(dá)出直線AB 的方程為x=my+c,然后利用已知條件尋找直線方程中參數(shù)的關(guān)系,從而證明AB 恒過一定點(diǎn)Q.設(shè)直線AB 的方程為x=my+c, A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得y2?4my?4c=0,所以y1y2=?4c,x1x2=因?yàn)橹本€OA 與直線OB 相互垂直, 所以即有x1x2+y1y2=0,整理得c2?4c=0, 所以c=4, 所以直線AB 恒經(jīng)過點(diǎn)Q(4,0).

從上述三種思路的計(jì)算量來看, 思路3 的計(jì)算量最小,思路1 和思路2 的計(jì)算量稍微大些,但由于本題中涉及的圓錐曲線是方程形式比較簡單的拋物線, 而且條件OA⊥OB也比較簡單,所以在本題中這三種思路沒有難度上的本質(zhì)區(qū)別,只要能熟練應(yīng)用都可以.

回到例2,如果先表達(dá)直線MN 的方程為y=kx+n,由于尋找直線參數(shù)k 與n 的關(guān)系要借助聯(lián)立直線與橢圓后使用韋達(dá)定理,而x1x2與x1+x2的關(guān)系在本題中是不容易找到的,不妨讓學(xué)生先試下,然后再展示完整的解答過程:

圖1

解法1

(2) lMA1:因?yàn)镻 在lMA1上,所以

lNA2:因?yàn)镻 在lNA2上,所以

不難發(fā)現(xiàn),此法能夠做出來靠的是巧妙的變形技巧,對(duì)于大部分基礎(chǔ)一般的學(xué)生來說難以領(lǐng)悟和應(yīng)用,所以碰到難以直接找到x1、x2關(guān)系的題目不適宜選擇先表達(dá)目標(biāo)直線方程再找參數(shù)關(guān)系的方法.

下面再展示網(wǎng)上提供的一種解法:

解法2直線MN 恒經(jīng)過定點(diǎn)Q(0,1).證明如下:

當(dāng)直線MN 斜率不存在時(shí),直線MN 即y 軸,通過點(diǎn)Q(0,1).當(dāng)點(diǎn)P 不在y 軸上時(shí),設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),則直線PA1方程:直線PA2方程:聯(lián)立得(3+t2)x2+6tx=0,解得所以聯(lián)立得(27+t2)x2?18tx=0,解得所以所 以所以直線MN 恒經(jīng)過定點(diǎn)Q(0,1).

這種解法目標(biāo)清晰,并且計(jì)算量較少,然而對(duì)于學(xué)生來說一定有個(gè)疑問: 怎么一開始就知道點(diǎn)Q 的坐標(biāo)是(0,1)呢? 事實(shí)上這是本解法的關(guān)鍵之處,作為答案不給出來Q 點(diǎn)坐標(biāo)的來由并沒有什么問題,因?yàn)楹竺娲_實(shí)證明了直線MN恒經(jīng)過這個(gè)Q 點(diǎn),但在解題教學(xué)中,學(xué)生有了疑問就有了真正學(xué)習(xí)的可能,教師不應(yīng)急著展示自己的“厲害”,而應(yīng)設(shè)計(jì)好問題,讓學(xué)生自己先嘗試分析和討論.

師: 如果直線MN 恒經(jīng)過這個(gè)Q 點(diǎn),能否縮小Q 點(diǎn)的范圍?

學(xué)生通過類比前面問題所涉及到的縮小點(diǎn)范圍的技巧, 不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P 移動(dòng)到y(tǒng) 軸上時(shí), 直線MN 即y 軸, 所以所過定點(diǎn)Q 必在y 軸上.不妨設(shè)Q(0,m), 同解法2 得由kQM=kQN得化簡得(36+4t2)(m?1)=0, 所以m=1, 所以直線MN 恒經(jīng)過定點(diǎn)Q(0,1).

從特殊情況縮小定點(diǎn)的可能位置,進(jìn)而減少未知量,達(dá)到簡化運(yùn)算的效果,這是教學(xué)中需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的思路和方法,應(yīng)盡量讓學(xué)生感悟這種基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

另外,如果學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好,還可以從更深層次的極點(diǎn)極線知識(shí)的角度讓學(xué)生嘗試探究下Q 點(diǎn)位置,激發(fā)學(xué)生對(duì)圓錐曲線規(guī)律性質(zhì)的好奇心和學(xué)習(xí)興趣.

例3已知橢圓A、B 是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn),且直線PA,PB 的斜率之積為求證:直線AB 恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

圖2

分析此題雖然也是恒過定點(diǎn)問題,但認(rèn)真分析條件卻可以發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)不同,解題教學(xué)中應(yīng)充分讓學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)差異所在.

師: 能否先縮小直線AB 恒過定點(diǎn)的位置范圍?

生: 由于P 的位置較為一般,且直線PA,PB 的斜率之積為也是一般性條件,難以通過特殊化方法縮小定點(diǎn)的位置范圍.

師: 先利用已知條件先把A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來如何?

生: 由于P 的坐標(biāo)不夠特殊,通過聯(lián)立直線PA 的方程和橢圓方程求解A 點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算過程非常繁瑣(求B 的坐標(biāo)同樣如此).

可見,此題不宜像例2 的解法2 一樣處理,注意到題目中的“直線PA,PB 的斜率之積為這個(gè)條件,可考慮采用例2 中解法1 的思路,將直線AB 的方程用y=kx+m表示出來,再借助斜率之積的條件尋找參數(shù)k 與m 的關(guān)系,進(jìn)而確定直線所過定點(diǎn).

解法1設(shè)直線AB 的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2?16=0,x1+x2=整理得(2k2+化簡得4k2?8km+3m2?配方得所以當(dāng)時(shí),直線AB 的方程y =kx+m 可化為直線AB 恒過定點(diǎn)當(dāng)時(shí),直線AB 的方程y =kx+m可化為直線AB 恒過定點(diǎn)此即為P 點(diǎn),這種情況不合題意.綜上所述,直線AB 恒過定點(diǎn)

上述的解法目的明確,思路清晰,雖然計(jì)算量略大,但也在高考計(jì)算量范圍之內(nèi),那么能否進(jìn)一步優(yōu)化計(jì)算方法? 事實(shí)上,在學(xué)生的接受能力許可的條件下,可以考慮提供齊次化處理方法:

設(shè)直線AB 的方程為

利用 ②式將 ①式齊次化,得

同除x′2得,

此時(shí)

三、案例的總結(jié)

從上面的幾個(gè)案例不難發(fā)現(xiàn),解析幾何中的運(yùn)算問題不是純粹的代數(shù)運(yùn)算問題,而是涉及到如何利用圓錐曲線中的幾何條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化和表達(dá)的問題.例1 表明在利用點(diǎn)在圓錐曲線上這個(gè)條件時(shí),不一定將點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入曲線的方程,而應(yīng)該評(píng)估下點(diǎn)的坐標(biāo)的復(fù)雜程度,如果點(diǎn)的坐標(biāo)已經(jīng)比較復(fù)雜時(shí)代入曲線的方程會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算更加復(fù)雜繁瑣,此時(shí)可以借助圓錐曲線的第一定義或第二定義.例2 和例3則表明優(yōu)化動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的運(yùn)算應(yīng)從實(shí)際條件出發(fā),如果能夠?qū)⒑诵臈l件轉(zhuǎn)化為兩根之和和兩根之積的條件,則可以先設(shè)出動(dòng)直線的方程y =kx+m(或者是x=ky+m)再尋找k 與m 的關(guān)系,進(jìn)而求出動(dòng)直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo).否則應(yīng)考慮將動(dòng)直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)表達(dá)出來,接著通過動(dòng)直線的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律縮小定點(diǎn)的范圍,然后再利用三點(diǎn)共線的條件求出定點(diǎn)的具體坐標(biāo).