把雙曲線化為圓

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

仿射變換是一種二維坐標(biāo)到二維坐標(biāo)的線性變換,變換保持二維圖形間的相對位置關(guān)系不發(fā)生變化: 將平行線變?yōu)槠叫芯€、直線變?yōu)橹本€、并且同一條直線上的點的位置順序和長度的比例關(guān)系保持不變, 對應(yīng)直線的斜率比保持不變,以及對應(yīng)圖形的面積比保持不變等等.人教A 版教材選修4-4 中的“伸縮變換”就是仿射變換,同時《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求: 了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

我們知道, 橢圓的問題通常采用二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系或引入?yún)?shù)來求解, 但常常伴隨著運(yùn)算上的繁瑣和消參的困難.而圓是特殊的橢圓, 相比橢圓來說更為簡單直觀, 利用仿射變換可以將橢圓變?yōu)閳AC :X2+Y2=1,從而把橢圓的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓的問題,再利用圓的良好的幾何性質(zhì)解決問題,往往使解題過程更簡捷.

而雙曲線,橢圓與圓都是有心圓錐曲線,橢圓和圓的很多性質(zhì)可以類比到雙曲線中,那么是否有類似于橢圓化“圓”的變換,來把雙曲線化為“圓”呢?

一、雙曲線化為圓

圖1

因為y2=?b2有虛根,即y =±bi,也就是說,雙曲線和y 軸有兩個虛交點,這也是為什么把B1B2叫做虛軸的原因.

同時,在復(fù)數(shù)中有虛數(shù)單位i,滿足i2=?1.于是可以在變換中引入虛數(shù)單位i,令變換為則雙曲線變?yōu)椤疤搱A”X2+Y2=1.

這樣的話,就可以利用圓已有的性質(zhì)去研究雙曲線的性質(zhì),會給一些雙曲線問題的解答帶來方便.

二、預(yù)備知識

1.復(fù)平面上直線方程的復(fù)數(shù)形式為ˉaz+aˉz+c=0,其中a 是非零復(fù)數(shù),c 是實常數(shù).

證明設(shè)z =x+yi,則ˉz =x?yi,從而

由此可以得到實平面上一些與直線相關(guān)的結(jié)論,在復(fù)平面上仍成立:

(1) 若兩條直線l1,l2的斜率為k1,k2,則

(2) 點P(x0,y0) 到直線Ax+By +C=0 的距離是

2.一元二次方程在復(fù)數(shù)域上,韋達(dá)定理仍成立.

三、雙曲線化為圓的應(yīng)用

解設(shè)變換則將雙曲線變?yōu)閳AX2+Y2=1.于是點P(x0,y0)可化為直線AB 在變換后的斜率為kA′B′,則 在 圓X2+Y2=1 中, 有且kA′B′kO′P′=?1, 則又因為所以,

例2求雙曲線

解設(shè)變換則將雙曲線變?yōu)閳A于是點可化為顯然在圓X2+Y2=1 上,所以易得切線方程為即所以雙曲線在點處的切線方程為

例3已知雙曲線= 1(a > 0,b > 0)上的兩點A1(x0,y0), A2(?x0,?y0)關(guān)于原點對稱, P 是雙曲線上的動點,求證: kPA1kPA2為定值.

證明設(shè)變換將雙曲線變?yōu)閳AC′: X2+Y2=1,設(shè)直線PA1,PA2變換后的斜率為k1,k2,由圓的性質(zhì),可知k1k2=?1.又因為所以即故可得為定值.

例4已知雙曲線過雙曲線外一點P 作雙曲線的兩條切線,若兩條切線相互垂直,求點P 的軌跡方程.

解設(shè)變換將雙曲線變?yōu)閳AC′: X2+Y2=1,設(shè)變換前兩條切線的斜率為k1,k2,變換后兩條切線的斜率為由已知,有k1k2=?1,又由所以另設(shè)動點P(x,y)變換后的坐標(biāo)為P′(x0,y0), 過點P′的直線l : y?y0=k′(x?x0),即k′x?y?(k′x0?y0)=0,則圓C′的圓心到直線l 的距離為即(k′x0?y0)2=k′2+1,化簡整理,得由韋達(dá)定理,有化簡得于是由于x=aX,y=bY i,所以點P 的軌跡方程x2+y2=a2?b2.

四、小結(jié)

由上述例子可見, 類似橢圓化“圓”, 將雙曲線化為“虛圓”,為解決雙曲線的問題,提供了新的途徑,不僅思路新穎、獨(dú)特,解答過程簡潔,效果事半功倍,而且能引導(dǎo)學(xué)生類比、聯(lián)想、分析和概括,有助于拓展思維空間,提高創(chuàng)新能力.

另外,仿射變換中有很多的變與不變,因仿射的角度不同,每種仿射下的“變”與“不變”也不相同,我們要充分利用“不變”的性質(zhì)解題,而“變”的性質(zhì)就決定了橢圓化“圓”后,利用圓的性質(zhì)解題會有諸多的限制; 同樣的, 雙曲線化“虛圓”也應(yīng)利用其中“不變”的性質(zhì)解題.