一類二元函數(shù)最值問題的求解

陜西省西安交通大學附屬中學(710054) 石鴻鵬

陜西省西安交通大學附屬中學分校(710048) 李亞玲

二元函數(shù)在近幾年的高考中經(jīng)常出現(xiàn),尤其是二元函數(shù)的最值問題,能夠充分體現(xiàn)化歸轉化、數(shù)形結合等重要思想.本文將探討以下這類二元函數(shù)最值問題:

已知x>0,y >0,若ax+by+xy+c=0(a,b,c 均為常數(shù)),求x+y 的最小值.

一、幾何意義

理清問題的幾何背景與幾何意義,能夠從根本上把握問題的核心,對問題的解決大有裨益.

對于ax+by+xy+c=0 可以做如下變形:

圖1

圖2

二、實例探究

以下通過具體實例來探究此類問題的各種解法及其本質.

例1設x>0,y >0,且2x+8y =xy,求x+y 的最小值.

(一) 基于基本不等式的變形與配湊

解法一注意到條件與結論的特殊關系,可將條件巧妙變形為從而有x+y=(x+y)再根據(jù)基本不等式可以求解.

解由于x > 0,y > 0, 則2x+8y=xy 可以形變?yōu)?所以x+y =(x+y)由均值等式得:當且僅當時,取等號,與2x+8y =xy 聯(lián)立得: x=12,y =6,所以,當x=12,y =6 時,(x+y)min=18.

總結評注當題目的條件為ax+by+xy=0 時,可以變形為再根據(jù)等式兩邊乘1 不變的性質知:x+y=(x+y)當a < 0,b < 0 時,用基本不等式可以求得x+y 的最小值;當a > 0,b > 0 時,用基本不等式可以求得x+y 的最大值;當a、b 異號時則不能用基本不等式.因此,這種方法只適用于條件可以變形為且c、d 同為正數(shù)情況下求x+y 的最小值的情況，屬于特殊方法，對本文所探討的最值問題沒有普適性.

解法二由基本不等式知,若ab=s(積為定值),當且僅當因此,可以嘗試把已知條件變形為關于x、y 的因式之積等于常數(shù),再根據(jù)上述性質求最值.

解由2x+8y=xy 得: (y?2)x=8y, 又x >0,y > 0, 則y?2 > 0, 又2x+8y=xy 可以配湊為:(x?8)(y?2)=16,則x?8 > 0,所以由均值不等式,得:x+y =(x?8)+(y?2)+10+10=18,當且僅當x?8=y?2 時取等號,與2x+8y =xy 聯(lián)立得:x=12,y =6,所以,當x=12,y =6 時,(x+y)min=18.

總結評注由于ax+by+xy+c=0 可以變形為:(x+b)(y+a)=ab?c, 又由幾何意義部分的討論知ab?c > 0, 則x+y=(x+b)+(y+a)?a?b所以當且僅當x+b=y +a 時,將x+b=y+a 與ax+by+xy+c=0 聯(lián)立不難求出使x+y取得最小值時x、y 的值.因此,這個方法是解決此類最值問題的通法.

解法三由于問題是求x+y 的最小值,因此可以將已知條件變形為一邊為x+y 的等式,然后根據(jù)不等式的性質求解.

解2x+8y=xy 可以配湊為: 2(x+y)=(x?6)y當且僅當x?6=y 時取等號,與2x+8y =xy聯(lián)立得: x=12,y =6,設x+y =t,由上法知: x>8,y >2,則t>10,所以即t2?20t+360(t>10),解得: t18,即當x=12,y =6 得: tmin=(x+y)min =18.

總結評注由于ax+by+xy+c=0 可以變形為:a(x+y)=?c?(b?a+x)y,則根據(jù)不等式得: a(x+y)=?c?(b?a+x)y?c?令t=x+y,則at?c此是關于t 的一元二次不等式, 是很容易求解的.這種方法需要注意的是t的范圍,需要如例題中對已知條件適當變形判斷出一個t 的范圍.顯然,此法是解決此類最值問題的通法.

(二) 基于方程思想的解法

解法四(代入消元法)已知條件是關于x、y 的等式,可以把一個變量用另外一個變量表示出來,通過帶入消元法使二元最值問題變?yōu)橐辉钪祮栴},再通過適當?shù)姆椒ㄇ蠼庖辉钪?

解由2x+8y=xy, 得y(x?8)=2x, 因為x > 0,y > 0, 所 以所 以x+y =當且僅當即x=12 時,等號成立所以,當x=12 時,x+y 取得最小值18.

總結評注關于兩個變量間存在等式關系的最值問題,通過消元法將二元最值問題化為一元最值問題,這是最基本的處理方法,是此類最值問題的通法.但要特別注意消元以后剩余元的取值范圍.

解法五(判別式法) 該類問題的幾何意義是在曲線ax+by+xy+c=0 與直線z=x+y 有公共點時,直線z=x+y 在y 軸上的截距的最小值.而兩個函數(shù)的公共點的一般求法是把兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立,所成方程的解即能確定公共點.

解設x+y=t (t > 10), 則x=t?y, 所以2(t?y)+8y=y(t?y), 即y2+(6?t)y+2t=0, 所以?= (6?t)2?8t=t2?20t+360(t > 10), 解得:t18,所以(x+y)min=18.

總結評注設x+y=t, 即x=t?y, 將其帶入ax+by+xy+c=0,得y2+(a?b?t)y?at?c=0.這是關于y 的一元二次方程,t 為參數(shù),兩個函數(shù)有公共點,即此方程有實數(shù)解,則?= (a?b?t)2+4(at+c)0,求解這個關于t 的一元二次不等式,求解這個不等式,求出t 的范圍,即可求出(x+y)min.此法也是求解此類最值問題的通法.

三、小結

對于本文所探討的這類最值問題,通過對幾何意義的刻畫和實例的探究,我們從不同的切入點總結出了解決這類最值問題的4 種通法,對于1 種只適用于個別題目的特殊方法進行了說明.