對一個條件概率問題的再辨析以及思考

廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)(519000) 李 凱 鄭 玲

在《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》(華南師范大學(xué)版上半月) 2018年第六期P21-22 中刊登了文章《一個條件概率問題的辨析》(后面簡稱文[1]).文中討論了計算一道條件概率題的常見三種方法: 縮小概率空間法, 條件概率公式, 利用全概率公式.并且對它們所計算結(jié)果不一樣進(jìn)行了探究.文中指出的“計算結(jié)果不一樣”引起了筆者的思考.筆者經(jīng)過再探究發(fā)現(xiàn), 其實三種方法都可以用來計算條件概率, 文中的“計算結(jié)果不一樣”都源于一個公式用錯.即文[1] 中用到的公式: 若A1,A2,B 表示三個事件, 且A1∩A2=?, 則P(B|A1∪A2)=P(B|A1)+P(B|A2).這里將這個用錯的公式記為公式1.

一、公式1 是否成立的思考及正確形式

當(dāng)A1∩A2=?時,即A1,A2互斥,故BA1,BA2也互斥,故P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2),P((BA1)∪(BA2))=P(BA1)+P(BA2),根據(jù)條件概率的公式:

而

顯然

并且易知一般情況下等號不成立.故公式1 一般情況下是不成立的.

如下圖可通過韋恩圖非常容易看到它們的區(qū)別與關(guān)系:

圖1

受韋恩圖以及上面的推導(dǎo)的啟發(fā),可對公式1 修改一下也能得到一個正確的結(jié)論: 若A1,A2,B 表示三個事件, 且A1∩A2=?,則P(B|A1∪A2)=P(A1|A1∪A2)P(B|A1)+P(A2|A1∪A2)P(B|A2).這里記為公式2.觀察公式2 的形式,它與全概率公式

在人教A 版選修2-3 教材[2]P60 中有一個與條件概率性質(zhì)有關(guān)的習(xí)題: 設(shè)事件A,B,C 滿足P(A)>0,B 與C 互斥,證明P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).這個性質(zhì)是正確的,不應(yīng)與用錯的公式1 混淆.

二、重解文[1]中的題目

先分析文[1]中例1 的變式題,題目如下: 擲骰子兩次,求在第一次擲得的點數(shù)為1 或2 的條件(記為A)下,兩次擲得的點數(shù)之和為5(記為B)的概率.

解法1(縮小空間法)

第一次擲得的點數(shù)為1 或2 的條件下, 所有的試驗結(jié)果可記為(x,y), x ∈{1,2}, y ∈{1,2,3,4,5,6} 共12 個, B 事件滿足的基本事件有(1,4), (2,3) 兩個, 故

解法2(利用條件概率的定義)

解法3(利用公式2)

把第一次擲得點數(shù)1,2 分別記為A1,A2,顯然A1∩A2=?,這樣

而

故

分析三種解法答案均為在文[1]中計算為是在縮小空間法中把概率空間弄錯了;事實上,概率空間應(yīng)該是兩次的試驗結(jié)果.在第一只試驗中雖然結(jié)果是1 或2,但它們只能發(fā)生一個,這樣在事件A 發(fā)生的情況下,事件B 并不能等價于第二次的結(jié)果為4,3.也可以從這種角度來理解: 當(dāng)?shù)诙蔚慕Y(jié)果為4 時,只有的概率發(fā)生了B,同樣當(dāng)?shù)诙蔚慕Y(jié)果為3 時,也只有的概率發(fā)生了B.這也即是對公式2 的實際意義的理解.

同樣的道理,在文[1]中一開始提出的測試題中解法二應(yīng)該是正確的,正確答案應(yīng)該是而文[1]解法一與解法三是錯誤的,通過與上面例1 的變式題類似的分析與改正可得正確的解法.

三、辨析之后的思考

非常贊同文[1]中的觀點,平時在命條件概率題目時一定要嚴(yán)把語言關(guān),避免產(chǎn)生同一種語言表述會有P(AB)與P(B|A)兩種不同的理解.事實上,上述三種解題方法正好是計算條件概率的三種典型方法: 定義法,縮小樣本空間法,利用概率的運算法則與事件之間的關(guān)系間接計算.在高考題中,計算條件概率在高考中并不算一個非常熱門的考查方向,但由于教材中對這一塊內(nèi)容要求不高,師生普通重視不夠.當(dāng)在考試中涉及時,學(xué)生往往失分較多,能靈活的運用三種方法來計算,方可以不變應(yīng)萬變.另外,在某些概率的計算中,直接用古典概型的模型來計算不易處理,而反過來通過逆用條件概率公式來計算概率,非常容易理解,我們也要重視.下面就這兩方面做一些思考與探究.

(一) 例析條件概率的三種典型計算方法

1 直接利用定義計算條件概率

例1(2014年全國二卷理科第5 題).某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( ).

A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

解設(shè)某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良為事件A,隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良為事件B,由已知P(A)=0.75,P(AB)=0.6,根據(jù)條件概率的定義,選A.

例2甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次,其命中率分別為0.5,0.8,現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中,則甲擊中目標(biāo)的概率是( ).

A.0.8 B.0.9 C.D.

解根據(jù)題意, 記甲擊中目標(biāo)為事件A, 乙擊中目標(biāo)為事件B,目標(biāo)被擊中為事件C,則P(C)=1?P(ˉB)P(ˉA)=1?(1?0.8)(1?0.5)=0.9;又AC =A,則根據(jù)定義,甲擊中目標(biāo)的概率為故答案為D.

2 縮小樣本空間來計算條件概率

例32018年6 月18 日,是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”.這天,小明的媽媽煮了5 個粽子,其中兩個臘肉餡,三個豆沙餡.小明隨機(jī)抽取出兩個粽子,若已知小明取到的兩個粽子為同一種餡,則這兩個粽子都為臘肉餡的概率為( ).

解記小明取到的兩個粽子為同一種餡為事件A, 兩個粽子都為臘肉餡為事件B, 則A 包含的基本事件的個數(shù)為而B 包含的基本事件的個數(shù)為1, 故選A.

例4從裝有大小形狀完全相同的3 個白球和7 個紅球的口袋內(nèi)依次不放回地取出兩個球,每次取一個球,在第一次取出的球是白球的條件下,第二次取出的球是紅球的概率為( ).

A.B.C.D.

解在第一次取出的球是白球的條件下,第二次口袋內(nèi)的球一定是2 個白球和7 個紅球,易得第二次取出的球是紅球的概率為選D.

3 利用概率的運算性質(zhì)間接計算

例5設(shè)某公路上行駛的貨車和客車的比例為2 : 1,貨車在中途停車修車的概率為0.02,客車在中途停車修車的概率為0.01,今有一輛汽車停車修理,求該汽車是貨車的概率.

解記該車為貨車為事件A1,該車為客車為事件A2,汽車停車修理為事件B,則而

例6某醫(yī)院用一儀器對某種疾病進(jìn)行初步診斷,已知這種儀器對患病者的正確診斷概率有0.9;對沒患病者的正確診斷率有0.8.已知這種疾病在人群中的患病的比例為0.1,若某人去醫(yī)院就診,在醫(yī)院通過這種儀器初診給出的診斷結(jié)論是已患病的條件下,求此人真正患這種病的概率.

解記儀器初診給出的診斷結(jié)論是已患病為事件A,此人真正患這種病為事件B,則而事件A包含兩種情況: 即就診者真正患病而被診斷患病和就診者沒患病而被診斷患病,這樣A=AB ∪且

注: 此題的計算具有一定的實際意義,在醫(yī)院里不僅需要對生病的人要正確的診斷和治療,對一些疑似生病的健康人也要正確診斷, 在本題中因為對健康人的誤診率比較高,導(dǎo)致最后對這個就診者的正確診斷率只有

對于以上三種方法, 應(yīng)付高中階段的常規(guī)考試, 方法1和方法2 足以;對于方法3 主要是借鑒了貝葉斯公式和全概率公式的思想,可以很好的擴(kuò)展學(xué)生的知識面.

(二) 逆用條件概率公式來計算概率

例7(2015年高考福建卷理科第16 題)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3 次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定,小王到銀行取錢時,發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6 個密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1 個進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.

(I) 求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(II) 略.

解(I) 設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A, 記小王第i (i=1,2,3) 次按的是錯誤密碼為Ai, 則A=A1A2A3,顯然對于計算P(A2|A1),相當(dāng)于在第一次按的錯誤密碼的條件下,第二次又在5 個密碼中又按了錯誤的密碼,故同理

故

注: 在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生都用古典概率模型來解題,解題思路如下: 記六個密碼分別為t,f1,f2,f3,f4,f5(其中t為正確密碼),用(a,b,c)來表示前三次試驗的結(jié)果.在前三次嘗試中,總的基本事件的個數(shù)為而銀行卡被鎖定即前三次按的均是錯誤密碼,則基本事件的個數(shù)為故銀行卡被鎖定的概率

這樣求解雖然最終計算得結(jié)果正確,但是原理與題意不相符,比如(t,f1,f2)在實際中根本不會出現(xiàn),因為當(dāng)?shù)谝淮尉兔艽a正確后,就不會在嘗試第二次,第三次,所以此題并不適合用古典概型來解.反而此題容易求條件概率,通過逆用條件概率公式來求概率更容易理解.

例8(武漢市2018 屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題).一張儲蓄卡的密碼共有6 位數(shù)字,每位數(shù)字都可以從0-9 中任選一個,某人在銀行自動提款機(jī)上取錢時,忘記了密碼最后一位數(shù)字,如果任意按最后一位數(shù)字,不超過2 次就按對的概率為( ).

A.B.C.D.

解記“第i 次按對密碼”用事件Ai表示,記“不超過2次就按對”用事件A 來表示,則A 可表示為A=A1∪顯然

這樣

選C.