妙用柯西不等式的變形解題

■湖北省天門(mén)市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 曾鴻燁

柯西不等式作為一個(gè)基本而又重要的不等式,具有較強(qiáng)的應(yīng)用性。同學(xué)們?nèi)绻莒`活巧妙地運(yùn)用柯西不等式,特別是柯西不等式的變形形式,就會(huì)在解題時(shí)能收到出奇制勝、事半功倍的效果。下面通過(guò)一些課本上的習(xí)題、高考題、競(jìng)賽題來(lái)看柯西不等式變形形式的應(yīng)用。

柯西不等式：若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是實(shí)數(shù),則(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當(dāng)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全為零時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)k,使得ai=k bi(i=1,2,…,n)時(shí)等號(hào)成立。

柯西不等式的變形形式：若a1,a2,…,an為實(shí)數(shù)為正數(shù),則+…,當(dāng)不全為零時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)k,使得時(shí)等號(hào)成立。

例1已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求證：。你能否把這一結(jié)論推廣?并寫(xiě)出證明過(guò)程。

證明：因?yàn)閍,b,c∈R+,且a+b+c=1,所以由柯西不等式的變形形式得：

推廣：x1,x2,,xn∈R+,且x1+x2+,則

例2已知a,b,c是互不相等的正數(shù),求證：

證明：a,b,c是正數(shù),由柯西不等式的變形形式得：

又因?yàn)閍,b,c是互不相等的正數(shù),所以

例3設(shè)x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1,求證：+…+

證明：因?yàn)閤1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1,所以由柯西不等式的變形形式得：

例4(2017年山東卷第12題)已知直線=1(a＞0,b＞0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為

解：因?yàn)橹本€=1(a＞0,b＞0)過(guò)點(diǎn)(1,2),所以。

又a＞0,b＞0,故由柯西不等式的變形形式得：

例5(2008年陜西卷第22題)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng),2,…。證明：a1+a2+…+。

證明：由題意易得,于是=1+。

由柯西不等式的變形形式,得：

a1+a2+…+an=。

所以結(jié)論成立。

例6(2012年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽第11題)設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,求證：。

證明：因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù),所以a2+b2+c2≥a b+b c+c a。

又a+b+c=1,故由柯西不等式的變形形式得：

拓展：設(shè)ai,bi(i=1,2,…,n)同號(hào)且不為0,則≥,當(dāng)a,a,…,12an,b1,b2,…,bn不全為零時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)k,使得ai=k bi(i=1,2,…,n)時(shí)等號(hào)成立。