為數(shù)學點贊
——名師例析數(shù)學文化(9)不等式

■北京市第十二中學高中部 高慧明

■北京市教育學院豐臺分院 張 琦

本刊特邀欄目專家簡介：

高慧明首屆全國十佳班主任,全國著名數(shù)學特級教師,國家教育部課程改革“全國先進工作者”,全國著名高考數(shù)學命題與考試研究專家,國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家,受邀在全國各地做有關高考科學備考、班級管理等多場專題報告。現(xiàn)任教于北京市第十二中學高中部。

張 琦北京教育學院豐臺分院數(shù)學教研員,骨干教師,中國教育學會輔導機構教師專業(yè)水平等級認證專家評委、命題專家。主編《高考復習三級跳》叢書數(shù)學卷,在全國知名學術期刊上發(fā)表有影響的論文數(shù)十篇。

不等關系是客觀世界中廣泛存在的一個基本關系,各種類型的不等式在現(xiàn)代數(shù)學的各個分支及實際應用中起著十分重要的作用。在歷史上,人們在考查事物的時候,經常要進行大與小、多與少、長與短等的比較和研究。而一旦有了這樣的比較就很容易引起人們在數(shù)量關系上的認識,進而產生相等或者不等關系的定義。

在我國,歷來強調不等式的重要地位?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準(實驗)》中明確指出：“不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數(shù)量關系,是數(shù)學研究的重要內容。建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的。”

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中則將相等關系、不等關系一起進行論述：“相等關系、不等關系是數(shù)學中最基本的數(shù)量關系,是構建方程、不等式的基礎。”通過本單元的學習,“可以幫助學生通過類比,理解等式和不等式的共性與差異,理解基本不等式,提升邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模素養(yǎng)”。

自1934年哈代的名著《不等式》問世以來,不等式知識就結束了零散的、孤立的狀態(tài),而是形成了自己的固有體系。哈代的著作,完整、簡潔、系統(tǒng)地講述了不等式的基本內容,內容由初等到高等。在此之后,有關不等式問題的研究層出不窮,文章、著作也很多。而且各類考試均對不等式知識表現(xiàn)出了濃厚的興趣,比如數(shù)學奧林匹克中不等式的題目甚多,幾乎每屆I MO與CMO都有一道不等式題;而在我國高中聯(lián)賽和高考題中,不等式也是屢見不鮮。為什么會這樣呢?主要是因為不等式最能反映出選手的創(chuàng)造能力,能夠考查選手分析問題、解決問題的能力。

下面擬通過相關試題,對不等式相關內容進行簡單梳理,以供參考。

一、阿基米德的不等式

古希臘的科學家、數(shù)學家阿基米德曾研究過圓面積計算公式和圓周率,他所用的極富啟迪性的方法,被后人稱之為“割圓術”。阿基米德在《圓的度量》中,提出了三個命題：

1.圓面積計算公式,其中L為圓周長,r為圓半徑;

2.圓與其外切正方形面積之比為11∶14;

3.圓周率π：。

關于圓周率,阿基米德分別從圓的外切正多邊形和內接正多邊形進行推導,通過對近似數(shù)值進行精巧的調整,最終得到。事實上,在古希臘或更早時候,數(shù)學家已經有了樸素的不等式的概念,并且能夠利用逼近的思想解決某些數(shù)學問題,這是難能可貴的。但是,那時候并沒有我們現(xiàn)在習慣上常用的這些不等式的符號,所以其表示不等關系時,是比較復雜的。隨著時間的推移,在科學家的著作中會偶有涉及不等式的問題,但是直到不等號出現(xiàn)為止,不等式的理論發(fā)展是比較緩慢的。

二、不等號的歷史與不等式理論體系

數(shù)學符號不僅可以簡化和表示較為復雜的事物,而且能加快數(shù)學思想的發(fā)展速度,幫助人們利用、理解數(shù)學知識。數(shù)學符號對于數(shù)學來說有著非常關鍵的作用。下面我們就來看看不等號的由來。

16世紀法國數(shù)學家維葉特用“=”表示兩個量的差別?？墒怯＝虼髮W數(shù)學、修辭學教授雷科德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數(shù)相等是最合適不過的了。于是等于符號“=”就從1540年開始使用起來。1591年,法國數(shù)學家韋達在文中大量使用這個符號,它才逐漸為人們接受。17世紀德國萊布尼茨廣泛使用了“=”號,才使其得以流行并沿用至今。大于號“＞”和小于號“＜”,是1631年英國著名數(shù)學家哈里奧特創(chuàng)用。1631年哈利奧特在著名的《分析術實例》一書中關于大于和小于的記號是這樣記錄的：大于的記號：a＞b表示a量大于b量;小于的記號：a＜b表示a量小于b量。由于這對記號簡潔且對稱,最終為大家所接受并使用。

就像研究平面幾何一樣,我們在研究不等式的時候,也需要先有一些“不證自明”的公理,之后根據(jù)這些公理,再來構建不等式理論的大廈。不等關系,是代數(shù)的實數(shù)集中特有的一個概念,按照哈代的說法,我們取正數(shù)這一概念作為未定義物,又取下列兩個命題作為公理：

(Ⅰ)或a為零,或a為正,或-a為正,這些可能性是相互排斥的;

(Ⅱ)兩正數(shù)之和與積仍為正數(shù)。

根據(jù)這兩條公理,我們知道或-a為正,則稱a為負;若a-b為正,則稱a大于b;若a-b為負,則稱a小于b。這個時候,我們就能得到下面的不等式的基本性質：

(1)對稱性：a＞b?b＜a。

(2)傳遞性：a＞b,b＞c?a＞c。

(3)加(減)：a＞b?a+c＞b+c。

(4)乘(除)：a＞b,c＞0?a c＞b c;a＞b,c＜0?a c＜b c。

(5)乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈Z且n＞1)。

(6)開方：a＞b＞0?na＞nb(n∈Z且n＞1)。

(7)a＞b,c＞d?a+c＞b+d。

(8)a＞b＞0,c＞d＞0?a c＞b d。

此后關于不等式的推導,大多依賴于以上幾條性質。換句話說,以上這些不等式的基本性質是我們解不等式和證明不等式的基本出發(fā)點。下面,我們就看一些在不等式發(fā)展史中有著重要地位的不等式。

三、基本不等式

基本不等式,由名字就可以看出來其重要性,大概可以說它是最基本的重要不等式之一,在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。下面從幾何的角度簡單進行解釋。

如圖1,A B是圓O的直徑,點C是A B上一點,A C=a,B C=b。過點C作垂直于A B的弦D E,連接A D,B D。

圖1

當且僅當點C與圓心O重合時,即a=b時等號成立。

綜上所述可知,基本不等式的幾何意義可以理解為：在圓內,“半徑不小于半弦”。是a,b的算數(shù)平均數(shù),是a,b的幾何平均數(shù),所以基本不等式又叫作平均值不等式。平均值不等式更一般的表達形式如下：

一般來說,假設a1,a2…,an為n個非負實數(shù),它們的算術平均數(shù)記為An=,幾何平均數(shù)記為G=n算術平均值與幾何平均值之間有如下的關系：,即An≥Gn,當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立。上述不等式稱為平均值不等式,或簡稱為均值不等式。平均值不等式的表達形式簡單,容易記住,但它的證明和應用非常靈活、廣泛。它有多種不同的證明方法,感興趣的同學可查閱相關資料進行研究。我們下面來看兩道高考題。

例1(2013年天津高考理)設a+b=2,b＞0,則當取得最小值。

解析：因為a+b=2,b＞0,所以,當且僅當時等號成立,此時a=-2,或a=。若a=-2,則;若,則所以取得最小值時,a=-2。

例2(2013年山東高考理)設正實數(shù)x,y,z滿足x2-3x y+4y2-z=0,則當取得最大值時的最大值為( )。

解析：求解此題,可先根據(jù)已知條件用x,y來表示z,再經過變形,轉化為基本不等式的問題,取等號的條件可直接代入,進而再利用基本不等式求出的最值。

由x2-3x y+4y2-z=0,得z=x2-3x y+4y2。

四、柯西不等式

柯西不等式是指下面的定理：設ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則當數(shù)組a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn不全為0時,當且僅當bi=λ ai(1≤i≤n)時等號成立。

柯西不等式的證明方法有很多,如配方法、向量法等,感興趣的同學可查閱有關資料進行研究。

關于柯西不等式的考題也非常多,下面我們來欣賞幾道。

例3(2017年北京海淀區(qū)一模)已知實數(shù)u,v,x,y滿足u2+v2=1,,則z=u x+v y的最大值是

解析：本題與常規(guī)線性規(guī)劃問題有著明顯的區(qū)別,因為同學們很難發(fā)現(xiàn)z=u x+v y的幾何意義。但是同學們如果仔細分析,適當進行轉化,應該能夠找出下面的思路：

若記a=(u,v),b=(x,y),則z=a·b=|a|·|b|·cos。由圖2知當a=也就是a,b共線同向且|b|最大時,z=u x+v y有最大值2。

此外,還可以根據(jù)柯西不等式得,(u x+v y)2≤(u2+v2)(x2+y2)=x2+y2,因為x2+y2表示陰影區(qū)域內任意一點與原點距離的平方,所以點為(2,2)的時候,距離的平方最大,最大值為8。

也就是(u x+v y)2≤(u2+v2)(x2+y2)=x2+y2≤8,所以u x+v y≤2,當且僅當x=y=2,u=v=時,等號成立。接下來,我們看這樣一道經典練習：

例4(2008年全國Ⅰ卷理)若直線x a通過點M(cosα,sinα),則( )。

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1

解析：本題常規(guī)解法是注意到點M是單位圓上的動點,直線通過點M,也就是圓心到直線的距離小于等于半徑,從而可得結論。

例5(2012年湖北卷理)設a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,a x+b y+c z=20,則=( )。

解析：由柯西不等式得,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(a x+b y+c z)2=400,當且僅當時取等號,因此有

關于柯西不等式的練習還有很多,本文不再一一列舉。請同學們注意,在利用柯西不等式求最值的時候,一定要關注等號成立的條件。

五、絕對值三角不等式

定理1：若a,b為實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a b≥0時,等號成立。

定理2：設a,b,c為實數(shù),則|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)≥0,即b落在a,c之間時等號成立。

事實上,絕對值三角不等式可加強為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,還可以推廣為|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。

此外,絕對值三角不等式還有關于向量的形式,如下：

對于任意兩個向量a,b,有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。

例6(2016年浙江高考理)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,則a·b的最大

解析：如果同學們能靈活應用絕對值三角不等式的向量形式的話,本題是非常簡單的。解題過程如下：|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤,所以|a+b|≤ 6,平方可得a2+2a·b+b2≤6,可知a·b≤。所以a·b的最大值為。

例7(2016年浙江高考理)已知實數(shù)a,b,c,則( )。

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2＜100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,則a2+b2+c2＜100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,則a2+b2+c2＜100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,則a2+b2+c2＜100

解析：可舉反例排除錯誤的選項：

對于A,令a=b=10,c=-110,可排除此選項。

對于B,令a=10,b=-100,c=0,可排除此選項。

對于C,令a=100,b=-100,c=0,可排除此選項。

下面我們來看選項D,根據(jù)絕對值三角不等式,可知1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|a2+b+a+b2|,由于,所以可知,所以可得-2＜＜2,-2＜,再根據(jù)絕對值三角不等式,可知1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|a2+b-a-b2+2c|,由于a2-a,b2-b∈,可求得c∈(-7,7),所以必然有a2+b2+c2＜22+22+72＜100。

故答案為D。