過點
- 對一道調(diào)研試題的深入剖析
-1+lnx,則過點(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線的充分條件可以是( ).A.b=2a-1>1B.b=2a-1C.2a-1試題表述簡潔明了、內(nèi)涵豐富,重點考查了曲線的切線、函數(shù)的零點拐點與極值點、導(dǎo)數(shù)放縮等知識和方法,是一道綜合性強、能力要求高的導(dǎo)數(shù)壓軸客觀題.顯然,這道調(diào)研試題命題與下面的高考題存在一定的關(guān)聯(lián).(2021年新高考Ⅰ卷第7題)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).A.ebC.0可以看出,調(diào)考試題體現(xiàn)了新高考Ⅰ卷
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年6期2023-06-01
- 全面思考 言必有據(jù)
= AC.錯解：過點A作BC的中垂線AD，垂足為D，則BD = CD. 再證明△ABD ≌ △ACD，得到AB = AC. 這種作輔助線的表述有問題，因為過點A作BC的垂線與中線，兩線不一定重合.正解：過點A作BC的垂線AD，垂足為D. ∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC.∵AD = AD，∠B = ∠C， ∴△ABD ≌ △ACD（AAS），∴AB = AC.反思：作輔助線時，一般不能同時滿足兩個或兩個以上的條件. 若要使所作輔助線同時滿足兩個要求，
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2023年3期2023-03-31
- 且把金針度與人
——對一道初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試題的探索與思考
垂線分割法方法3過點C作CE⊥AB于點E，過點D作DF⊥CE于點F(如圖4),則△BEC和△CFD都是直角三角形，四邊形AEFD是矩形.在Rt△BEC中，BC=3，易得BE和CE的長度，易求EF的長度，進而可知CF的長度，故可求得AB的長度.圖4 圖5方法4過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥AE于點F(如圖5),則△ABE和△ADF都是直角三角形，四邊形CEFD是矩形，易求AB的長.方法5過點D作DE⊥DC交AB于點E，過點E作EF⊥BC交BC于點F
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2023年2期2023-02-18
- 探究圓錐曲線關(guān)于切線長的統(tǒng)一恒等式
和點T不重合),過點P作OT的平行線交圓錐曲線于不同的兩點A,B,則λ=為定值.圖1文[2]給出以下結(jié)論:性質(zhì)2 (1)如圖2,已知點P在橢圓C:=1上,點Q(m,n)不在橢圓C上,過點Q作平行于OP的直線圖2我們發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論之間有聯(lián)系,并思考能否將兩個結(jié)論結(jié)合起來得到更優(yōu)美的結(jié)論呢?2 探究與結(jié)論證明已知O為坐標原點,點T(x0,y0)為橢圓C上一點,C在點T處的切線為l,點P(xp,yp)是l上的任意一點(和點T不重合),過點P作OT的平行線交橢圓于不
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年23期2023-01-02
- 幾何極值
)如圖2，對任一過點P的線取B′C′(點B′，C′分別在AB，AC的延長線上)，則有∠BCC′>∠B，所以過點C在∠BCC′內(nèi)作CD，使∠BCD=∠B(即CD∥AB).設(shè)CD交PC′于點D，則由BP=PC，可得?PBB′≌?PCD.所以S?AB′C′>S?ABC.(2)如圖3，設(shè)旁切圓分別切直線AB，AC于點E，F(xiàn)，則BP=BE，PC=CF，所以?ABC的周長等于AE+AF.對另一?AB′C′(B′C′過點P且點B′,C′分別在AB，AC的延長線上)，設(shè)B
初中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年19期2022-11-28
- 2022年加拿大奧林匹克試題例談
BC內(nèi)接于圓Γ,過點A作BC的垂線,交Γ于點D;過點B作AC的垂線,交Γ于點E.若AB=DE,證明:∠ACB=60°.證明因為AD⊥BC,例2用若干個下面的“丁四”(如圖2)覆蓋一個n×n的網(wǎng)格,恰好既不重合,也不溢出.問n應(yīng)為什么樣的值?解顯然4|n×n,所以n為偶數(shù)2k,而丁四為k2.例3實數(shù)a,b滿足①求②的值.③如何選擇正負號?不妨設(shè)a>0>b,這時=ab-ab=0>-1.因此③ 式中應(yīng)取“+”號,即④嚴格說來,還應(yīng)指出④ 式可以成立(否則題目本身
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年17期2022-10-26
- 平面直角坐標系中求三角形面積的方法探究
方法1 如圖7，過點B作BM∥x軸交CA的延長線于點M，則S△ABC=S△BMC-S△BMA=12·BM·CE-12·BM·AD=12·BM·CN=12·BM·|yC-yA|.或如圖8，過點A作AM∥y軸交CB的延長線于點M，則S△ABC=S△AMC-S△AMB=12·AM·CD-12·AM·BE=12·AM·CN=12·AM·|xC-xB|.方法2補成一個梯形如圖9，分別過點A，C作x軸的垂線與過點B且平行于x軸的直線交于點M，N，則四邊形AMNC為梯形
數(shù)理天地(初中版) 2022年9期2022-07-25
- 雙曲線中常見輔助線的作法
k=.解 如圖，過點C作CE⊥x軸于點E，因為點C在雙曲線y2=2x上，所以S△OCE=1，因為S△OCD=2，所以S△ECD=S△OCE=1，所以點E為OD的中點，因為CE∥AD，所以點C是OA的中點，所以S△OAD=2S△OCD=4，因為函數(shù)y1（x>0）的圖象過點A，AD⊥x軸，所以k=8.2 作垂線段構(gòu)造全等三角形例2 圖2如圖2，已知反比例函數(shù)過A，B兩點，A點坐標（2，3），直線AB經(jīng)過原點，將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，則C點
數(shù)理天地(初中版) 2022年9期2022-07-25
- 解答任意四邊形問題的四種作輔助線的技巧
求AD的長.解 過點A作AE⊥CB的延長線于點E，過點D作DF⊥BC的延長線于點F，過點A作AG⊥DF于點G，所以四邊形AEFG是矩形，所以EF=AG，因為∠ABC=135°，∠BCD=120°，所以∠ABE=45°，∠DCF=60°，則∠ABE=∠BAE=45°，∠CDF=30°，因為AB=2，BC=3-3，CD=23，由勾股定理得CF=3，BE=AE=1，DF=3，所以EF=AG=BE+BC+CF=1+3-3+3=4，DG=DF-FG=DF-AE=3-
數(shù)理天地(初中版) 2022年5期2022-07-24
- Philon面及其性質(zhì)*
者稱為∠AOB內(nèi)過點P的Philon線.歷史上，Philon有時又稱為Philo.因此，Philon線又可稱為Philo線.Philon線不僅具有重要的理論意義，而且在解決工程設(shè)計選線問題中具有廣泛的應(yīng)用[2].Philon線的概念可以類比推廣到三維空間上，從而得到Philon面的概念.下面給出三面角的Philon面和圓錐面的Philon面的定義.定義若P為已知三面角O-ABC(直圓錐面O-ABC)內(nèi)的一個定點，過P點任作一個不過O點的平面與三面角O-AB
贛南師范大學(xué)學(xué)報 2022年3期2022-06-16
- “鉛垂高、水平寬”巧解三角形面積
.解析：如圖1，過點C作y軸的平行線，交AB于D，過點B作DC的垂線，垂足為F，過點A作DC的垂線，交CD的延長線于點E，[S△ABC=S△ACD+S△BCD=12CD?AE+12CD?BF=12CD （AE+BF）]，此處AE + BF即為A，B兩點之間的水平距離.由題意得AE + BF = 6.由A（1，1），B（7，3）得直線AB的解析式為y = [13]x + [23]，由點C（4，7），可得點D（4，2），所以CD = 5，[則S△ABC=12C
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2022年6期2022-05-30
- 以一次函數(shù)為背景的規(guī)律探究
：y = x上，過點N1作N1M1⊥l，交x軸于點M1;過點M1作M1N2⊥x軸，交直線l于N2;過點N2作N2M2⊥l，交x軸于點M2;過點M2作M2N3⊥x軸，交直線l于點N3;……，按此作法進行下去，則點M2021的坐標為 .解析：如圖3，過N1作N1E⊥x軸于E，N1F⊥y軸于F，∵N1（1，1），∴N1E = N1F = 1，∴∠N1OM1 = 45°，∴∠N1OM1 = ∠N1M1O = 45°，∴△N1OM1是等腰直角三角形，∴N1F = O
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2022年7期2022-05-30
- 一道中考題的探究與變式
B = 90°，過點D作DE⊥AB于E，DE = BE.（1）求證：DA = DC;（2）連接AC交DE于點F，若∠ADE = 30°，AD = 6，求DF的長. （本文僅分析第一問）學(xué)法指導(dǎo)解法1：構(gòu)造正方形法如圖2，過點D作DG⊥BC，交BC的延長線于點G，∵DE⊥AB，∠B = 90°，DG⊥BC，∴四邊形DEBG是矩形.∵DE = BE，∴四邊形DEBG是正方形，∴DG = DE，∠EDG = ∠G = 90°.∵∠ADC = 90°，∴∠GDC
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·提升版 2022年7期2022-05-30
- 巧作平行線 構(gòu)造相似形
解法2：如圖3，過點D作DG∥BC，交AE于點G，AF于點H。根據(jù)三角形中位線定理得到CF=2DH，得到QB=4DQ，BP=PD，得到BP、PQ與DQ的關(guān)系，求比即可。【點評】本題考查平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵。類型二：過頂點作平行線構(gòu)造相似三角形例2 （2021·江蘇連云港）如圖4，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D。若BF=3FE，則[BDCD]= 。【分析】傳統(tǒng)方式依舊可行，
初中生世界·九年級 2022年2期2022-02-16
- 三角公式的圖形表示
半,知∠PCB=過點P作PA垂直于x軸, 垂足為A, 那么AP為角α的正弦線,OA為角α的余弦線.利用銳角正切的定義以及三角函數(shù)線可知注意到直徑所對的圓周角∠CPB= 90°,而∠PAB=90°, 從而∠PBA在兩個不同的直角三角形中的余角相等, 即∠APB= ∠PCA=同理可知角α為任意角時,同理利用正切的定義以及三角函數(shù)線也可以表示角的正切值.不妨設(shè)α為第一象限角且終邊與單位圓交于點P,那么角的終邊落在第一或第三象限,且與單位圓分別交于點Q、點R(圖3
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2021年5期2021-04-21
- 2020年本刊原創(chuàng)題（三）
中點，連接CD，過點A作CD的垂線，分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，若CD = 5，AE = [203]，則AC的值為 ? .2. 如圖2，已知拋物線[y=ax2+bx+c]與x軸交于點A，與y軸交于點B，其中對稱軸與x軸交于點C [52 ，0]，直線AB的解析式為[y=-33x+23]. 在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DE⊥x軸于點E，交直線AB于點F .（1）求拋物線的解析式.（2）是否存在點D，使得△BDF與△AEF相似？若存在，請求出點D的
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2020年7期2020-09-10
- 在探究中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力
一:(如圖1) 過點B作CF的平行線交AE于點M,因為BD=DC,∠BDM=∠CDE,∠DBM=∠DCE,所以?BDM?CDE,所以BM=CE,又因為所以所以所以求得.解法二:(如圖2) 過點B作AE的平行線交FC于點M,因為BD=DC,所以ME=CE,又因為所以所以.圖2圖3探索二:從點D作平行線解法三:(如圖3) 過點D作AF的平行線交CF于點M,所以?EDM?EAF,?CDM?CBF.因為BD=DC,所以BF=2DM,同時有FM=MC,又因為所以所以
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2020年16期2020-09-05
- 首屆全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題的兩次演變
相交于點A、B，過點B的一條直線分別交⊙O1、⊙O2于點C、D，過點B的另一條直線分別交⊙O1、⊙O2于點E、F，證明：∠ABC=∠ABF的充分必要條件是CD=EF．圖3在圖1的基礎(chǔ)上，連結(jié)CF，取CF的中點I，設(shè)直線IA與⊙O1、⊙O2分別相交于不同于點A的兩點G，H，連結(jié)GC、HF(見圖4)，則∠CGA=∠ABC=∠ABF=∠AHF．過點C作CM⊥IA于點M，過點F作FN⊥IA于點N，注意到I是CF的中點，即知ΔCMI≌ΔFNI，故CM=FN，IM=I
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2020年4期2020-05-29
- 三角形費馬點的再推廣
情形同理可證.)過點O分別作直線EF、MN垂直的射線OG、OH，將∠MOE內(nèi)部分成三個區(qū)域，即∠HOE內(nèi)部，∠HOG內(nèi)部，∠GOM內(nèi)部，下面分三種情況：設(shè)點P是平面內(nèi)任意一點，過點P作PB⊥MN，PC⊥EF，垂足分別為B，C，則S=PA+PB+PC.圖2(1)當點A在∠HOE內(nèi)部(如圖2中陰影部分，包括邊界)時，過A點作MN的垂線AQ，垂足為Q，此時AQ與EF必相交，記交點為P0，則當P點與P0重合時，S取得最小值為AQ，證明如下：S=PA+PB+PC≥P
數(shù)學(xué)通報 2020年1期2020-04-10
- Global health training in Canadian family medicine residency programmes
生17：如圖5，過點D作AC、BC、MN的垂線段DR、DS、DT，由前一問的相似三角形的對應(yīng)角相等可得MD、ND分別平分∠AMN和∠MNB，于是DS=DR=DT=定值．Figure 3 depicts locations for international rotations and partner sites for FM programmes. At the University of Ottawa, residents are able to pro
- 一個圓錐曲線性質(zhì)的推廣
0)上任意一點，過點P作PA⊥PB，PA、PB與橢圓分別交于異于點P的點A、B，則直線AB過定點推廣二：點P(x0,y0)為橢圓(a＞b＞0)上任意一點，過點P作PA⊥PB，PA、PB與橢圓分別交于異于點P的點A、B，則直線AB過定點推廣三：點P(x0,y0)為雙曲線(a＞0,b＞0,a≠b)上任意一點，過點P作PA⊥PB，PA、PB與雙曲線分別交于異于點P的點A、B，則直線AB過定點推廣四：點P(x0,y0)為雙曲線(a＞0,b＞0,a≠b)上任意一點，
河北理科教學(xué)研究 2020年4期2020-03-09
- 一道中考幾何壓軸題的多種證法與教學(xué)啟示
直線BD上移動，過點E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點F.（2）當點E在直線BD上移動時，如圖2、圖3所示，線段BC、DE與DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明.二、思路探究三、解法探究1.關(guān)于第（1）問的解法探究思路1：利用直角，構(gòu)“三垂直”.證法1：如圖4，過點F作FG⊥BD于點G.所以∠EGF=∠ABE=90°，則∠BAE+∠AEB=90°.因為EF⊥EA，所以∠GEF+∠AEB=90°.所以∠BAE=∠GEF.因為BC=BD，B
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年18期2019-09-25
- 求一般三角形面積多種方法的研究
全”：①如圖1，過點A作AC//x軸交y軸于點C，過點B作BD//y軸交x軸于點D，AC與BD交于點E，∵A（1，3），B（3，1）∴OC=CE=OD=DE=3，則四邊形CODE是正方形，CA=1，AE=2，BD=1，BE=2∵S?AOB=S正方形CODE-S?AOC-S_?BOD-S_?AEB②如圖2，延長AB交x軸于點C，設(shè)AB所在直線為y=kx+b，把點A（1，3），B（3，1）代入y=kx+b得k=-1，b=4，∴AB所在直線是y=-x+4，∵AB
世界家苑 2019年8期2019-09-17
- 數(shù)學(xué)化歸法的運用
——以“函數(shù)與角度”為例
y軸于點P，且經(jīng)過點E（3，2），點F為拋物線上一點，且PF⊥PE，求點F的坐標.解題過程：過點E、F分別向y軸作垂線，交y軸于M、N兩點.由PF⊥PE，得∠EPF=90°.易得△EMP △PNF.則-1-a=a2-2a-1，則a1=1，a2=0（舍去）.則點F（1，-2）.思考：學(xué)生利用垂直這個條件，得到兩個角互余的相似直角三角形，從而得到線段關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化成點的坐標，最后求出結(jié)果.題目2：如圖2，拋物線y=x2-4x+3交x軸于A、B兩點，與y軸交于點
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年14期2019-08-31
- 一道耐人尋味的面積問題*
高解法1如圖2，過點B作BE⊥AD交DA的延長線于點E，過點A作AF⊥CD于點F，則∠AEB=∠AFC=90°，且因為∠EAC=∠EAB+45°=∠ACD+45°，所以∠EAB=∠ACD，從而△EAB∽△FCA，可得于是進而BE=AD.又因為S△ADB=6,所以故評注僅僅作高BE是不夠的，從∠ADC=45°聯(lián)想構(gòu)造等腰直角三角形解決問題．圖2 圖3解法2如圖3，過點B作BE⊥AD交DA的延長線于點E，在AE的延長線上取點F使得EF=BE，則因為∠FAC=∠
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2019年8期2019-08-19
- 探究一道中考題的解法
解法4：如圖7，過點P作PD⊥AP交AC于點D.圖7 根據(jù)勾股定理，得AD=3k.易知∠DPC=90°-∠APB=∠BAP=∠C.所以CD=PD=2k，所以AC=AD+CD=5k.嘗試七：將嘗試二中的CD⊥AP改為CD⊥AC如何？解法5：如圖8，過點C作CD⊥AC交AP的延長線于點D.根據(jù)勾股定理，得AD=3k.易知∠DPC=∠APB=90°-∠PAB=90°-∠ACB=∠DCP.所以PD=CD=2k，所以PA=AD-PD=k.圖8 嘗試八：過點B作BD⊥
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年10期2019-06-25
- 原來輔助線還可以這樣作
個特殊角，我就想過點A作AD⊥BC于點D，將45°角和60°角放在直角三角形中，構(gòu)造一個等腰直角三角形和一個含30°角的直角三角形，然而并沒有解決這道問題。我又考慮取特殊值，令BP=1，求得AD=[3+32]，CD=[3-32]，發(fā)現(xiàn)∠ACB的大小根本不是30°、45°、60°，感覺沒有任何思路。于是，我又想延長BC，過點A來作AB的垂線，同樣將45°角和60°角放在直角三角形中，還是沒能解決問題。第二天上午，我向數(shù)學(xué)老師請教。老師首先表揚了我，因為我看到
初中生世界·九年級 2019年4期2019-05-05
- 一道幾何題的拓展與延伸
90°,EF 是過點C 的直線,AE⊥EF,BF⊥EF 垂足分別為E、F,試問線段EF 與AE、BF 之間有什么等量關(guān)系? 為什么?圖1答: EF =AE+BF.理 由: 因 為∠ACB = 90°, ∠ECF = 180°, 所 以∠BCF + ∠ACE = 90°.因 為∠AEC = 90°, 所 以∠EAC +∠ACE = 90°, 所以∠EAC = ∠BCF.因為在△AEC 和△CFB 中, ∠AEC = ∠CFB = 90°, ∠EAC =∠BC
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2019年6期2019-04-13
- 從一道課本習(xí)題說開去
因為直線l是一條過點P且與圓O相切的直線，據(jù)此我們就會自然而然地提出下列兩個問題：問題1：當點P（a，b）在圓O外時，怎樣作出這樣的直線l？問題2：當點P（a，b）在圓O內(nèi)（異于坐標原點O）時，怎樣作出這樣的直線l？我們先來研究第一個問題.此時，直線l與圓O是相交的，第一步，作出以O(shè)P為直徑的圓M，交圓O于A，B兩點;第二步，連結(jié)A，B，所得直線AB即為l（如圖1）.由于OP為圓M的直徑，故連結(jié)PA，PB，OA，OB可得OA⊥PA，OB⊥PB，于是PA，P
新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年7期2018-12-03
- 運用割補法求三角形的面積
圖象上，所以解得過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，直線AC、BD交于點E（如圖 1），則四邊形CODE是矩形，E（3，6）.所以S△OAB=S矩形CODE-S△ACO-S△BDO-S△AEB注：本題也可以用以下兩種方法求△OAB的面積：（1）S△OAB=S梯形AODE-S△BDO-S△ABE；（2）S△OAB=S梯形BOCE-S△ACO-S△ABE.解法 2 由解法 1 知A（1，6），B（3，2）.設(shè)直線AB交x軸、y軸分別于點C、D（
新課程(下) 2018年6期2018-08-08
- 第58屆IMO平面幾何題命題探秘
S、K，直線RT過點S，與⊙O1、⊙O2分別交于點R、T，直線HB過點K，與⊙O1、⊙O2分交于點H、B，求證：RH∥TB．延長HR到點Z，并連結(jié)SK，注意到∠ZRS=∠HKS=∠STB，即知RH∥TB．下面，讓我們來看看這道經(jīng)典例題是如何被盧森堡數(shù)學(xué)奧林匹克命題專家巧妙演繹為國際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)平面幾何試題的.1.極端化如圖1，記RH所在直線為l，令點H、B分別在⊙O1、⊙O2上運動(直線HB過點K)，當點H趨近于點R并最終與點R重合時，直線l由割
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2018年6期2018-07-02
- 橢圓與雙曲線的一個美妙性質(zhì)及應(yīng)用
占峰性質(zhì)1 過點 的直線 與曲線 相交于A，B兩點，點 ，則（1）當 時，x軸為 的平分線；（2）當 ，x軸為 的外角的平分線.證明：不妨設(shè)直線 的斜率存在，其方程為由 ，消去y 可得，直線AN，BN關(guān)于x軸對稱，由此知：（1）當 時，x軸為 的平分線（如圖1）；（2）當 ，x軸為 的外角的平分線（如圖2）.注：在性質(zhì)1中，當 時，C表示焦點在x軸上的橢圓；當 時，表示焦點在y軸上的橢圓；當 時，表示一個圓.由此便知有如下的性質(zhì)2.性質(zhì)2 過點 的直線 與
學(xué)校教育研究 2018年19期2018-05-14
- 對一道高考試題的分析與研究
和點（1） 若過點M有且只有一條直線與圓O相切，求實數(shù)a的值，并求出切線方程；（2）若 ，過點M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，求 的最大值.分析：（1） 由于點M有且只有一條直線與圓O相切，所以點M在圓上.（2） 設(shè) ，則思考1： 根據(jù)基本不等式： ，只能求 的最小值，而不能求其最大值.思考2： 根據(jù)重要不等式：，知道， 要求 的最小值，只需證明 為定值.當然，上述兩個不等式中，等號成立的充要條件都是 .解：（1） 由于點M有且只有一條直線與圓O相切，
課程教育研究·新教師教學(xué) 2015年29期2017-09-27
- 圓中的一個面積關(guān)系
r>0，C≠0.過點P-ACr2，-BCr2的直線交圓K于A，B兩點，分別過點A，B的兩條平行線與直線l0交于點A1，B1，記△AA1P，△A1B1P，△BB1P的面積分別為S1，S2，S3，則S22=4S1S3.證明 如圖所示，分別過A，B兩點做直線l0的垂線，垂足分別為A2、B2，線段AB1、BA1交于點Q.設(shè)過點P的直線l的傾斜角為θ.則直線l的參數(shù)方程為x=tcosθ-ACr2，y=tcosθ-BCr2.設(shè)A（t1cosθ-ACr2，t1cosθ-
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2016年17期2017-01-17
- 數(shù)學(xué)建模顯捷徑，一題多解求面積
———巧用模型求拋物線中的三角形面積
【建模】如圖1，過點E作EF∥y軸，交AD于F；作AH⊥EF于H、DG⊥EF于G.則S△AED=S△AEF+S△DEF=×EF×AH+×EF×DG=×如圖2，過點A作AF∥x軸，交DE于F；作EH⊥AF于H、DG⊥AF于G.則S△AED=S△AEF+S△ADF=×AF×EH+×AF×DG=× AF×（EH+DG）=×AF×|yD-yE|.如圖3，過點E作EF⊥AD于F.則S△AED=×AD×EF.【應(yīng)用】例拋物線y=ax2-2ax-4與x軸交于點A、B（A
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年24期2016-12-28
- 小題小作 小題巧作
如圖1所示,分別過點A、B作橢圓右準線的垂線段AD、BC,過點B作BE⊥AD于點E.(構(gòu)造直角梯形，再分割)由橢圓的第二定義可得|AE|=|AD|-|BC=4t.解題思路 如圖2所示,分別過點B、D作橢圓右準線的垂線段BH、DC,過點D作DE⊥BH于點E. (構(gòu)造直角梯形，再分割)設(shè)|DF|=t,|DC|=s，由橢圓的第二定義可得解題思路 如圖3，設(shè)雙曲線的右準線為l,過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D.(構(gòu)造直角梯形，再分割)解題思
數(shù)理化解題研究 2016年31期2016-12-16
- 高一數(shù)學(xué)測試
F,其中斜邊DE過點B,且與AC平行,DF過點A,EF過點C;方案2：擴大為一個等邊三角形DEF,其中DE過點B,DF過點A,EF過點C.(1)求方案1中?DEF面積S1的值;(2)在方案2中,設(shè)∠DBA=θ,用θ表示?DEF的邊長f(θ)，并求出?DEF面積S2的最大值.(1)當m=12時,求a2 016的值;(3)是否存在m,使S128m+3≥2 016成立,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.參考答案一、填空題5. 9;6.9;7.兩解;8.4
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2016年13期2016-07-07
- 平移在數(shù)學(xué)解題中的妙用——由一道中考壓軸題的解法聯(lián)想到
圖4，中線倍長：過點A作AH⊥AD交BD延長線于點H.證△ADH≌△ODB，得BO=AH.因為BO⊥AO，所以AH∥BO.圖4圖5方法二：如圖5，過點C作CG∥AO交BD于點G，因為AD=OD，思路點撥：本題所要求的結(jié)論是線段比值，問題一定要轉(zhuǎn)化為相似或平行線分線段定理，以下用6種方法解答問題（2）.方法一：設(shè)AD=a，則AO=BO=4a.如圖6，過點A作AH∥BD且BH∥AO，連接CH，則四邊形ADBH為平行四邊形.圖6所以△BHC∽△OCA，所以∠1=
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年4期2016-04-13
- 一道高考試題的解題分析
張同語等題目設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+y2b2=1（0這是2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第14題，通過調(diào)查，我校不少考生對該題都是采用如下的解法. 題目設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+y2b2=1（0這是2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第14題，通過調(diào)查，我校不少考生對該題都是采用如下的解法. 題目設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+y2b2=1（0這是
中學(xué)生理科應(yīng)試 2014年12期2015-01-15
- 證明三角形角平分線定理的六法
造平行線法如圖，過點C作CE∥AD交BA的延長線于點E，∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE∴AC=AE ∴二、構(gòu)造相似三角形法如圖，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，過點C作CF⊥AD于F，則BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴三、面積法如圖，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F
讀寫算·教研版 2014年20期2014-12-03
- 圓錐曲線中相交弦的有關(guān)性質(zhì)
的弦AB，CD,過點A,B分別作橢圓的切線交于點M,過點C,D分別作橢圓的切線交于點N,則MN∥PQ.筆者借助幾何畫板研究，發(fā)現(xiàn)在圓錐曲線中相交弦的有關(guān)性質(zhì)，下面一一介紹.思考1定理1中“O′為弦PQ的中點”的條件可否一般化？經(jīng)過筆者研究，知該條件無法一般化，但可以得到進一步的結(jié)論：圖1性質(zhì)1如圖1,PQ是橢圓的非對稱軸的弦,O′為弦PQ上一點，過點O′作2條與PQ不重合的弦AB，CD,過點A,B分別作橢圓的切線交于點M,過點C,D分別作橢圓的切線交于點N
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年5期2013-10-26
- 從不同視角探求一道課本習(xí)題中“視角”的最值問題
視角1 如圖2，過點C垂直于AB的直線記為DE(D為垂足).當DE與過點A，B的圓相切時，切點記為C，此時∠ACB=∠α最大.事實上，觀察圖2，易得無論點C是前行還是后退到點C'，過點A，B，C'的圓必與直線DE相交，此時∠AC'B必小于圓內(nèi)的∠α.當DE與過點A，B，C的圓相切且切點為C時，由切割線定理得圖2視角2 (借助于兩角差的正切公式求tan∠ACB的最大值)圖3視角3 (借助于正弦定理求sin∠ACB的最大值)由視角2可得視角4 (借助于余弦定理
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年1期2013-08-27
- 關(guān)于t－blocking集合的一個新下界＊
其中P∈K，L為過點P的直線.引理1 設(shè)K為PG（2，q）中的一個t－blocking集合，ti如上所示，則證 我們通過2種不同的方法來計算所有符合條件的二元數(shù)組（P，L）的個數(shù).因為PG（2，q）中任意一條直線Li上有ti個點是屬于K中的，即它確定了ti個不同的二元數(shù)組，而在PG（2，q）中共有q2＋q＋1條直線，所以所有符合條件的另外也可用過點P的直線的條數(shù)來計算這些二元數(shù)組的個數(shù).因為過點P的直線有q＋1條，即這一點確定了q＋1個二元數(shù)組，而K中點的
湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） 2013年2期2013-03-19
- 龍鳳曲線切線的幾個有趣性質(zhì)
圓交于點A,B，過點M的直線l2與雙曲線交于點C,D(如圖1)，過點A，B作龍曲線的2條切線交于點P，過點C，D作鳳曲線的2條切線交于點Q，則PQ⊥x軸.圖1證明如圖1所示，設(shè)A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2)，則過點A,B的切線方程為解得點P的坐標為從而由kAM=kBM得化簡得則又設(shè)C(asecα1,btanα1),D(asecα2,btanα2),則過點C,D的鳳曲線的2條切線方程分別為由kCM=kDM得化簡得則因此xP
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2011年5期2011-11-21
- 平面幾何中“+=”型問題的新證法
B于點E.證明 過點B作BF∥DE與AD的延長線相交于點F，因為DE∥AC，所以BF∥AC，于是∠F=∠CAD，又因為例2 如圖3，已知∠POR=120°，OQ 平分∠POR，直線 l分別交 OP，OQ，OR 于 A，B，C.圖3證明 延長AO至點D使OD=OC，延長 CO至點 E使OE=OA，連接 CD，AE.易知△OCD，△OAE均為正三角形，故得CD∥OB∥AE.例3 如圖4，在 Rt△ABC中，⊙O的圓心在斜邊AB上，直角邊 AC，BC分別切半圓于
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年12期2011-02-01
- 三角形與三棱錐的兩個性質(zhì)命題的逆命題
λ3都是正實數(shù)，過點P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且〢M=x〢B擼〢N=y〢C命題2 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點P，若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D筆者進一步研究后發(fā)現(xiàn)上述兩個命題的逆命題也成立，現(xiàn)將其敘述并證明如下.命題3 如圖1所示，已知△ABC及其內(nèi)部一點P，過點P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且〢M=x〢B證明：∵M、N、P三點共線(A不在直線MN上)，∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年2期2008-12-10