求一般三角形面積多種方法的研究

張雅玲 李響

在初中階段會遇到求各種形狀的面積，這些形狀都不是特殊的（或不容易求出的）。于是我們需要把圖形補(bǔ)成規(guī)則的圖形或者切割成規(guī)則（或比較容易）的圖形來解決。下面我主要以最簡單的三角形為例來總結(jié)方法。

例1：如圖，直線y=3x與雙曲線 （k≠0，且x>0）交于點A，點A的橫坐標(biāo)是1。

（1）求點A的坐標(biāo)及雙曲線的解析式；

（2）點B是雙曲線上一點，且點B的縱坐標(biāo)是1，

連接OB，AB，求△AOB的面積。

解（1）∵點A在直線y=3x上，點A的橫坐標(biāo)是1，

∴把x=1代入y=3x得y=3，即A的坐標(biāo)是（1，3）；

∵點A（1，3）在雙曲線 上，

∴把點A（1，3）代入 得k=3，即雙曲線的解析式是 。

（2）∵點B是雙曲線上一點，且點B的縱坐標(biāo)是1，

∴把y=1代入 得x=3，即B（3，1）。

本題中，我們主要研究第二問求△AOB的面積。

第一種方法“補(bǔ)全”：

①如圖1，過點A作AC//x軸交y軸于點C，過點B作BD//y軸交x軸于點D，

AC與BD交于點E，

∵A（1，3），B（3，1）

∴OC=CE=OD=DE=3，則四邊形CODE是正方形，

CA=1，AE=2，BD=1，BE=2

∵S?AOB=S正方形CODE-S?AOC-S_?BOD-S_?AEB

②如圖2，延長AB交x軸于點C，

設(shè)AB所在直線為y=kx+b，

把點A（1，3），B（3，1）代入y=kx+b得k=-1，b=4，

∴AB所在直線是y=-x+4，

∵AB直線與x軸交于點C，∴令y=0則x=4即C（4，0），∴OC=4，

∵S?AOB=S?AOC-S?BOC

③如圖3，延長AB交x軸于點C，交y軸于點D，

設(shè)AB所在直線為y=kx+b，

把點A（1，3），B（3，1）代入y=kx+b得k=-1，b=4，

∴AB所在直線是y=-x+4，

令x=0，則y=4即D（0，4），令y=0，則x=4即C（4，0）

∵S?AOB=S?COD-S?AOD-S?BOC

第二種方法“切割”：

如圖4，過點A作AC⊥x軸交OB于點D，過點B作BE⊥x軸，過點B作BF⊥AC于點F，

則四邊形BECF是矩形，∴BF=CE，OE=3，

設(shè)OB所在直線為y=kx，

把點B（3，1）代入y=kx得 ，∴OB所在直線是 ，

∵AC⊥x軸交OB于點D，A（1，3），∴點D的橫坐標(biāo)是1，

∴把xD=1代入 得yD= ，即D（1， ），∴

∵ ，BF=CE

第三種方法“轉(zhuǎn)化”：

如圖5，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，

則AC//BD，則四邊形ACDB是梯形，

由反比例函數(shù)的幾何意義可知S?AOC=S?BOD

∵S四邊形AODB=S?AOC+S梯形ACDB，S四邊形AODB=SAOB+S?BOD

∴S?AOB=S梯形ACDB

∵A（1，3），B（3，1）∴AC=3，BD=1，CD=2，

∴

第四種方法“兩點之間距離”：

如圖6，過點O作OC⊥AB于點C，

①∵A（1，3），B（3，1），∴ ，

②∵A（1，3），B（3，1），∴ ，

∵OC⊥AB，∴點C為AB的中點，即C（2，2），∴

總之，遇到這種求面積問題都可以從這四個方面去考慮，使復(fù)雜問題簡單化。

（作者單位：新疆克拉瑪依第五中學(xué)）