三角形與三棱錐的兩個(gè)性質(zhì)命題的逆命題

王本民

文［1］討論了三角形的一個(gè)向量性質(zhì)并將其推廣到三棱錐中.

命題1 如圖1所示，已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P，若│霜1㏄A擢+λ2㏄B+λ3㏄C=0,λ1，λ2，λ3都是正實(shí)數(shù)，過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且〢M=x〢B擼〢N=y〢C

命題2 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點(diǎn)P，若λ1㏄A+λ2㏄B+λ3㏄C+λ4㏄D

筆者進(jìn)一步研究后發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)命題的逆命題也成立，現(xiàn)將其敘述并證明如下.

命題3 如圖1所示，已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且〢M=x〢B

證明：∵M(jìn)、N、P三點(diǎn)共線(A不在直線MN上)，∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y〢C擼(且μ1+μ2=1) ①

=0.故命題成立.

命題4 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作平面與AB、AC、AD三邊分別交于M、N、K三點(diǎn)，且

故命題成立.

顯然，由上述命題及證明可以得到如下兩個(gè)“充要性”的命題：

命題5 如圖1所示，已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且〢M=x〢B

命題6 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作平面與AB、AC、AD三邊分別交于M、N、K三點(diǎn)，且

參考文獻(xiàn)

［1］田富德.三角形的一個(gè)向量性質(zhì)及其空間拓廣.數(shù)學(xué)通訊.2007(13).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>