例談算法思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

趙　軍

算法是數(shù)學(xué)內(nèi)容以及數(shù)學(xué)思想方法的重要組成部分，也是計(jì)算機(jī)應(yīng)用的重要基礎(chǔ).在信息技術(shù)高度發(fā)達(dá)的現(xiàn)代社會(huì)，算法思想應(yīng)該是公民具備的科學(xué)素養(yǎng)之一.作為《新課程標(biāo)準(zhǔn)》增加的新內(nèi)容，算法走進(jìn)了中學(xué)數(shù)學(xué).在中學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，除了要讓學(xué)生了解算法的基本含義和學(xué)習(xí)基本算法語(yǔ)句，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)和應(yīng)用算法思想，特別是要做好算法思想在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透.

1.算法進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué)

1.1 中學(xué)數(shù)學(xué)中的算法概念

“算法”屬于邏輯數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念，不能用更簡(jiǎn)單的概念來(lái)給它正式下定義，只能像其他數(shù)學(xué)范疇一樣，直接從經(jīng)驗(yàn)中抽象出來(lái).《新課標(biāo)》中提出“通過(guò)對(duì)解決具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析(如，二元一次方程組求解等問(wèn)題)，體會(huì)算法的思想，了解算法的含義”，學(xué)生“通過(guò)模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過(guò)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程”，“經(jīng)歷將具體問(wèn)題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語(yǔ)句的過(guò)程，理解幾種基本算法語(yǔ)句”.中學(xué)階段，要讓學(xué)生能夠感受到，算法是指完成一個(gè)任務(wù)準(zhǔn)確而完整的描述，算法是確定計(jì)算過(guò)程，從可變的初始數(shù)據(jù)導(dǎo)出所要求的答案的準(zhǔn)確指令.中學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)，理論上任何復(fù)雜的算法都可以用這三種基本邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn).中學(xué)數(shù)學(xué)還介紹了算法的主要描述方法：自然語(yǔ)言、程序框圖和程序語(yǔ)句，其中程序框圖使學(xué)生認(rèn)識(shí)算法步驟式更直觀和更準(zhǔn)確.三種基本邏輯結(jié)構(gòu)與程序框圖是學(xué)習(xí)算法的重點(diǎn).

1.2 中學(xué)數(shù)學(xué)中的算法思想

《新課標(biāo)》中指出“算法是高中數(shù)學(xué)課程中新內(nèi)容，其思想是非常重要的，但并不神秘”，其實(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)中，就出現(xiàn)了加法算法、減法算法，以及求最大公約數(shù)等等這樣一些簡(jiǎn)單的算法.在中學(xué)數(shù)學(xué)中設(shè)置算法的學(xué)習(xí)，其目的除了要求中學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)必要的算法知識(shí)外，更重要的目的是讓學(xué)生理解和提煉算法思想.《新課標(biāo)》明確提出“本模塊的主要目的是使學(xué)生體會(huì)算法的思想，提高邏輯思維能力.不要將此部分內(nèi)容簡(jiǎn)單處理成程序語(yǔ)言的學(xué)習(xí)和程序設(shè)計(jì)”，因此要抓住“算法思想”這條主線，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生利用算法來(lái)解決問(wèn)題的思想意識(shí).

算法思想雖然沒(méi)有一個(gè)明確的定義，但是在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們可以認(rèn)為算法思想就是指把某些或某類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題步驟或解題過(guò)程“程序化”、“機(jī)械化”的思想方法，也就是解題的每一個(gè)步驟是“明確”的，整個(gè)解題過(guò)程是“通用”的，甚至是“機(jī)械”的.比如：

例1：解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)時(shí)，我們的解題過(guò)程可以設(shè)置為如下“程序”：

當(dāng)然，理解好中學(xué)數(shù)學(xué)中的算法思想，首先要理解數(shù)學(xué)“機(jī)械化”的重要意義，吳文俊強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)機(jī)械化方法的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的生命線”.以算法為核心的“機(jī)械化”思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的通用化、機(jī)械化和程序化思想，可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，為各類實(shí)際問(wèn)題的解決提供框架.在當(dāng)今信息時(shí)代，腦力勞動(dòng)的機(jī)械化已經(jīng)成為提高生產(chǎn)力水平的重要手段.其次必須理解算法思想的基本特征：一是解題步驟的確定性，每一步驟的描述必須是確定的，不能產(chǎn)生歧義；二是解題步驟的有窮性，問(wèn)題必須在有限的步驟內(nèi)解決完成，過(guò)于繁多的步驟沒(méi)有實(shí)際意義；三是解題步驟的可行性，每一個(gè)解題步驟要確保能夠操作；四是解題結(jié)果的完成性，嚴(yán)格執(zhí)行解題步驟，最后確保有結(jié)果輸出.

2.將算法思想滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)中

在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都蘊(yùn)含了豐富的算法思想.《新課標(biāo)》明確提出“算法除作為本模塊的內(nèi)容之外，其思想方法應(yīng)滲透在高中數(shù)學(xué)課程其他有關(guān)內(nèi)容中，鼓勵(lì)學(xué)生盡可能地運(yùn)用算法解決相關(guān)問(wèn)題”.可見(jiàn)，注重算法思想與中學(xué)數(shù)學(xué)課程的整合，將算法思想滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用算法思想解決相關(guān)問(wèn)題，是中學(xué)教師和學(xué)生應(yīng)該積極探索的一個(gè)課題.

2.1 在數(shù)學(xué)基本概念和公式的學(xué)習(xí)中滲透算法思想

公式是指用數(shù)學(xué)符號(hào)表示各個(gè)量之間的一定關(guān)系(如定律或定理)的式子，在中學(xué)數(shù)學(xué)教材上明確給出了許多數(shù)學(xué)公式，比如數(shù)列求和公式、排列組合公式、三角公式、距離公式、夾角公式、面積和體積公式、求期望和方差的公式以及直線位置關(guān)系的判斷公式等等.數(shù)學(xué)公式本身就是一種算法，輸入已知量，由公式能夠直接而迅速的得到待求的量.除此以外，某些數(shù)學(xué)概念定理也可以發(fā)掘出算法思想.以一個(gè)周期函數(shù)求函數(shù)值為例：

例2：已知函數(shù)f(x)在R上是偶函數(shù)，且其周期為2，當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，f(x)=2-x，則ゝ(-2003.5)的值為().

A.0.5 B.1 C.-1 D.-1.5

分析：本題可以將問(wèn)題的解決設(shè)計(jì)為算法過(guò)程：

從上可以看出，我們用到了循環(huán)累加x=x+2和累減x=x-2，也許看起來(lái)這種累加或累減顯得過(guò)于麻煩，但是它形象地刻畫(huà)了周期函數(shù)，并且這種重復(fù)單調(diào)的事對(duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)顯得簡(jiǎn)單.我們用算法的思想去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的概念和公式，除了一方面在數(shù)學(xué)基本概念和公式的學(xué)習(xí)中，適時(shí)滲透算法思想，另一方面還應(yīng)該用算法思想去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的許多公式、定理和概念.

2.2 在典型案例的解法中滲透算法思想

中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多具有典型性和實(shí)用性算法案例，比如《算法》這一章所列舉的二元一次方程組的解法、二分法求方程的近似解、階乘以及數(shù)列求和等等都是生動(dòng)有趣的算法例子.在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們要細(xì)心的去發(fā)現(xiàn)和利用好這樣一些案例，并以此為生動(dòng)的載體，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解算法的本質(zhì)，體會(huì)算法思想.比如蒙特卡羅方法的使用.

例3：天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，這三天中恰有兩天下雨的概率是多少?

分析：這是一個(gè)概率問(wèn)題，如果運(yùn)用蒙特卡羅(玀onte Carlo)方法，即計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，其算法可以設(shè)計(jì)為：設(shè)共做n次獨(dú)立試驗(yàn)，被模擬的事件發(fā)生了m次.

用蒙特卡羅方法(即計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)方法服務(wù)生產(chǎn)實(shí)踐的一個(gè)典型方法.上述算法給出了用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程，有普遍的代表性.

2.3 在同類問(wèn)題解題策略中滲透算法思想

中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多問(wèn)題在解決思路和方法上具有很強(qiáng)的共性，并且其解題過(guò)程的“步驟性”也很明顯.我們可以將這些問(wèn)題歸類，將解題過(guò)程有“條理性”的表達(dá)出來(lái)，設(shè)計(jì)通用的“算法”，整個(gè)“算法”過(guò)程的設(shè)計(jì)要按照一定的步驟、一定的思維方式進(jìn)行.當(dāng)遇到同類問(wèn)題時(shí)能夠立刻套用，提高問(wèn)題解決速度，同時(shí)可以通過(guò)這種“算法”的設(shè)計(jì)和掌握來(lái)培養(yǎng)學(xué)生做事的條理性和規(guī)范性.

例4 (07年全國(guó)高考文科試題)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2 時(shí)取得極值.

(1)求a、b的值；

(2)若對(duì)于任意的x∈［0，3］，都有f(x)

分析：用導(dǎo)數(shù)法討論三次函數(shù)的性質(zhì)，是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的題型，其解法“步驟性”很強(qiáng)，可以將算法歸納如下：

這里特別要注意的是要搞清解法與算法的聯(lián)系和區(qū)別：算法與解法都是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的程序和步驟，但是算法是針對(duì)某一類問(wèn)題，而解法是針對(duì)某一個(gè)問(wèn)題，算法較解法具有更強(qiáng)的代表性和普遍性.算法以解法為基礎(chǔ)，在其基礎(chǔ)上歸納出解決某一類問(wèn)題的程序或步驟.

算法思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透，還可以通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題、閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)以及通過(guò)與信息技術(shù)的整合等等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)和加強(qiáng).算法對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)是初次引入，如何把握知識(shí)的標(biāo) 高，特別是如何在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中和知識(shí)體系中滲透算法思想，對(duì)廣大數(shù)學(xué)教育工作者來(lái)說(shuō)，還需要作進(jìn)一步的深入探索.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社.2003，6.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>