一個優(yōu)美不等式的推廣及證明

王明建　楊國增

文［1］給出了一對非常優(yōu)美的姐妹不等式：

設(shè)a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1，則有

(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3 (1)

(1b+c+a)(1c+a+b)(1a+b+c)≥(116)3 (2)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時取等號.

文［2］給出了(1)的一個簡捷證明，本文把(1)推廣到更一般地情形：

設(shè)a璱(i=1,2,…，n)都是正數(shù)，且∑ni=1a璱=1，則有∏ni=1(11-a璱-a璱)≥(1+1n(n-1))琻 (3)

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=a璶=1n時取等號.

證明：設(shè)a2+a3+…+a﹏-1+a璶=x1,a3+a4+…+a璶+a1=x2,…，a1+a2+…+a﹏-1=x璶,則易知∑ni=1x璱=n-1,及1-a1=x1,1-a2=x2,…，1-a璶=x璶,由均值不等式有11-a璱-a璱=1x璱+x璱-1=(n-1)2n2x璱+x璱-1+2n-1n2x璱≥2n-1n2x璱+n-2n,

當(dāng)且僅當(dāng)x璱=n-1n,即a璱=1n(i=1,2,…，n)時取等號.

再利用乘積型玀inkowski不等式［3］和均值不等式得

∏ni=1(11-a璱-a璱)≥2n-1n2n∏ni=1x璱+n-2n琻

≥2n-1n∑ni=1x璱+n-2n琻=(2n-1n(n+1)+n-2n)琻

=(n2-n+1n(n-1))琻=(1+1n(n-1))琻.

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=a璶=1n時取等號.

顯然，(1)是(3)當(dāng)n=3時的特例.

對于不等式(2)的推廣，我們還沒有獲得，期盼能早日見刊.

參考文獻(xiàn)

［1］魏烈斌.不等式中的一對姐妹花［J］.數(shù)學(xué)通訊.湖北.2007，(5).

［2］趙恩林，潘超.一個不等式的簡捷證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.江西.2007，(10).P12-13.

［3］匡繼昌.常用不等式［M］.山東科學(xué)技術(shù)出版社.山東.2004，(1).P10-11.

［4］朱華偉.一道數(shù)學(xué)奧林匹克問題的解法探討［J］.數(shù)學(xué)通報.2001，(7).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”