對(duì)一道調(diào)研試題的深入剖析

湖北省武漢市第二中學(xué) (430010) 張 鵠

2022-2023學(xué)年度武漢市部分學(xué)校高三年級(jí)九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)第12題為:

若函數(shù)f(x)=ex-1+lnx,則過(guò)點(diǎn)(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線的充分條件可以是( ).

A.b=2a-1>1B.b=2a-1<1

C.2a-1

試題表述簡(jiǎn)潔明了、內(nèi)涵豐富,重點(diǎn)考查了曲線的切線、函數(shù)的零點(diǎn)拐點(diǎn)與極值點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)放縮等知識(shí)和方法,是一道綜合性強(qiáng)、能力要求高的導(dǎo)數(shù)壓軸客觀題.顯然,這道調(diào)研試題命題與下面的高考題存在一定的關(guān)聯(lián).

(2021年新高考Ⅰ卷第7題)若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).

A.eb

C.0

可以看出,調(diào)考試題體現(xiàn)了新高考Ⅰ卷試題的命題特點(diǎn)與風(fēng)格,但在考查考生的學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力上要求更高,難度更大.

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中如何把握試題之間的內(nèi)在聯(lián)系以及如何發(fā)揮試題的潛在功能與價(jià)值,是復(fù)習(xí)備考中需要考慮的重要問(wèn)題.為此,筆者結(jié)合試題剖析本題的思考過(guò)程.

首先,根據(jù)處理曲線的切線問(wèn)題的一般解題方法設(shè)點(diǎn)設(shè)線進(jìn)行分析.

①若g(x)在(0,+∞)上存在兩個(gè)零點(diǎn),則g(1)=2a-1-b>0,b<2a-1.

②若g(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn),則g(1)=2a-1-b=0,b=2a-1≤-1.

③若g(x)在(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn),則g(1)=2a-1-b<0,b>2a-1.

(ii)當(dāng)0

①當(dāng)g(1)=2a-1-b=0即b=2a-1時(shí),g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),此時(shí)-1

②當(dāng)g(1)=2a-1-b>0且g(a)=f(a)-b<0,即f(a)

③當(dāng)g(1)=2a-1-b<0或g(a)=f(a)-b>0即b>2a-1或b

(iii)a>1時(shí),令g′(x)=0,則x=a或1.

①當(dāng)g(1)=2a-1-b=0即b=2a-1時(shí),g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),此時(shí)b=2a-1>1,選項(xiàng)A正確.當(dāng)g(a)=f(a)-b=0即b=f(a)時(shí),g(x)也有兩個(gè)零點(diǎn),此時(shí)b=f(a)>1.

②當(dāng)g(1)=2a-1-b<0且g(a)=f(a)-b>0,即2a-1

③當(dāng)g(1)=2a-1-b>0或g(a)=f(a)-b<0即b>f(a)或b<2a-1時(shí),g(x)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,答案為AD.

圖1

(Ⅰ)曲線存在一條切線的情形有:

①當(dāng)點(diǎn)P(a,b)為拐點(diǎn)G(1,1)時(shí),過(guò)點(diǎn)P(a,b)能作曲線y=f(x)的切線只有一條,即直線l;

②當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在直線l上且a≤0時(shí),b=2a-1≤-1,過(guò)點(diǎn)P(a,b)能作曲線y=f(x)的切線只有一條,切點(diǎn)橫坐標(biāo)等于1;

③當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在直線l上方且02a-1,過(guò)點(diǎn)P(a,b)能作曲線y=f(x)的切線只有一條,切點(diǎn)橫坐標(biāo)大于0而小于1;

④當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在曲線y=f(x)下方且0

⑤當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在直線l下方且a>1時(shí),b<2a-1,過(guò)點(diǎn)P(a,b)只能作曲線y=f(x)的一條切線,且切點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1;

⑥當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在曲線y=f(x)上方且a>1時(shí),b>f(a)>1,過(guò)點(diǎn)P(a,b)只能作曲線y=f(x)的一條切線,且切點(diǎn)橫坐標(biāo)大于0而小于1.

(Ⅱ)曲線存在兩條切線的情形有:

①當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在直線l下方且a≤0時(shí),b<2a-1≤-1,過(guò)點(diǎn)P(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線,例如圖1中的過(guò)點(diǎn)P的切線m,n;

②當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在直線l上且0

③當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在曲線y=f(x)上且0

④當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在直線l上且a>1時(shí),b=2a-1>1,過(guò)點(diǎn)P(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線,其中一條切線為直線l,另一條切線的相應(yīng)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1;

⑤當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在曲線y=f(x)上且a>1時(shí),b=f(a)>1,過(guò)點(diǎn)P(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線,其中一條為在點(diǎn)P處的切線,另一條切線的相應(yīng)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0而小于1.

(Ⅲ)曲線存在三條切線的情形有:

①當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在曲線y=f(x)的上凸部分、直線l以及y軸所夾的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)(如圖左下方陰影部分)時(shí),f(a)

②當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在曲線y=f(x)的下凸部分的下方與直線l所夾陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)(如圖右上方陰影部分)時(shí),2a-11,過(guò)點(diǎn)P(a,b)恰能作曲線y=f(x)的三條切線.

(Ⅳ)曲線不存在切線的情形有:當(dāng)點(diǎn)P(a,b)在直線l上方且a≤0時(shí),b>2a-1,過(guò)點(diǎn)P(a,b)不能作曲線y=f(x)的切線.

通過(guò)從數(shù)和形兩方面對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行深入的剖析,得到本文中的調(diào)考試題與高考真題的通解通法:先畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像,挖掘圖像背后的各種函數(shù)性質(zhì),如單調(diào)性,凸凹性等,然后再找出特殊點(diǎn)(如拐點(diǎn))處的切線,考察切線與曲線分割的各個(gè)平面區(qū)域(含邊界),過(guò)這樣的每個(gè)區(qū)域及其邊界的點(diǎn)向曲線作切線,分析并寫出對(duì)曲線的切線條數(shù)構(gòu)成影響的各種因素(如參數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系).若要求對(duì)上述剖析過(guò)程進(jìn)行邏輯推理,則不難結(jié)合前面圖像分析過(guò)程并利用相關(guān)定理和方法對(duì)各種情形進(jìn)行嚴(yán)格論證.