品味高考試題中平面向量的“交匯性”

湖北省襄陽市第一中學 (441000) 杜曉霞 王 勇

平面向量作為高中數(shù)學的重要內容,它不僅具有強大的工具性,還具有很強的交匯性.高考命題專家抓住向量的這些特性,將它與平面幾何、三角、函數(shù)、邏輯用語、解析幾何、不等式、立體幾何等重要內容交匯,命制了眾多好題,旨在考查學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).下面以近兩年高考真題為例,探究和品味平面向量的“交匯性”.

1.與平面幾何交匯

圖1

點評:本題以單位圓及其內接正八邊形為載體,考查正八邊形的性質、平面向量的加法運算及數(shù)量積運算,考查數(shù)形結合思想,體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

2.與三角交匯

A.[-5,3]B.[-3,5]

C.[-6,4]D.[-4,6]

點評:本題考查平面向量的坐標表示、平面向量的數(shù)量積運算、三角恒等變換,考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想、體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

3.與函數(shù)交匯

圖3

圖4

點評:本題主要考查平面向量的模及數(shù)量積運算,穿插考查平面向量的坐標運算及二次函數(shù)的最值.考查的關鍵能力是運算求解能力、邏輯思維能力和數(shù)學建模能力.考查的學科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學探索.

4.與邏輯用語交匯

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

點評:本題主要考查充分條件、必要條件的判斷及平面向量數(shù)量積的性質.

5.與解析幾何交匯

圖5

6.與不等式交匯

圖6

7.與立體幾何交匯

A.當λ=1時,ΔAB1P的周長為定值

B.當μ=1時,三棱錐P-A1BC的體積為定值

圖7

圖8

圖9

圖10

點評:本題是用平面向量“包裝”的立體幾何多選題,對平面向量和立體幾何的相關知識考查充分,對考生的學科素養(yǎng)和關鍵能力要求極高,是一道難得的創(chuàng)新題.