關(guān)注知識生成 滲透數(shù)學思想
——以“平均變化率”的課堂教學為例

江蘇省興化市楚水實驗學校 (225700) 鄒勇泉 袁小強

數(shù)學概念教學在數(shù)學教學中處于核心地位,概念學習過程是一個探究的過程.近期筆者有幸參加了江蘇省第十七屆“藍天杯”課堂教學展評課,展示了一節(jié)“平均變化率”教學課,授課對象是普通高中高二學生,本文結(jié)合蘇教版普通高中教科書《數(shù)學》選修(2-2)第一章“導數(shù)及其應(yīng)用”第一課時“平均變化率”的教學設(shè)計談?wù)勱P(guān)注知識生成,滲透數(shù)學思想,幫助學生構(gòu)建探究一般數(shù)學概念的方法.

本課時的內(nèi)容是平均變化率,變化率包括平均變化率和瞬時變化率,平均變化率是研究瞬時變化率和導數(shù)的基礎(chǔ),經(jīng)歷位移的變化、速度的變化、曲線的上升與下降等具體想象,抽象出研究函數(shù)的改變量和變化率等數(shù)學理論.通過實際背景和應(yīng)用實例引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程,從而認識和理解導數(shù)的概念和本質(zhì).

一、課堂教學實錄

1.創(chuàng)設(shè)情境,問題導入

世界充滿著變化,有些變化幾乎不被人們所察覺,而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼.

情境1播放歌曲《可可托海的牧羊人》,《Mojito》.感受這兩首春晚熱門歌曲旋律節(jié)奏有何不同?

(初步感受節(jié)奏變化不一樣,第一首節(jié)奏變化慢,第二首節(jié)奏變化快)

情境2某市4月20日最高氣溫為33.4℃,而4月19日和4月18日的最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃,短短兩天時間,氣溫陡增14.8℃,悶熱中的人們無不感嘆:“天氣熱得太快了!”

時間4月18日4月19日4月20日日最高氣溫18.6℃24.4℃33.4℃

該市3月18日到4月18日的日最高氣溫變化曲線,如圖1:

圖1

設(shè)計意圖:通過圖片、音樂、文字、表格、圖象展示,讓學生感受到生活中存在大量“變化快慢的量”,激發(fā)學生的學習興趣,體現(xiàn)數(shù)學教學的美育價值.

2.新課探究,學生活動

問題1 你能說出圖1中A、B、C三點的坐標所表示意義嗎?

問題2 你可以分別計算AB、BC段溫差嗎?可以用數(shù)學語言解釋一下“天氣熱得太快了”嗎?(從數(shù)與形兩方面)

小結(jié):氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度.

問題3 如何“量化”(數(shù)學化)曲線AB、BC的陡峭程度呢?(小組合作討論)

生:不好直接研究曲線AB、BC的陡峭程度,只能“大致”研究.

追問:怎么“大致”研究呢?

生:只能研究線段AB、BC的陡峭程度.

追問:如圖2,如何研究線段AB、BC的陡峭程度呢?我們前面研究過如何刻畫線段或者直線的陡峭程度嗎?

圖2

問題4你能用數(shù)學的語言來表達一下:曲線上升的陡峭程度嗎?(從數(shù)與形兩方面)

設(shè)計意圖:通過問題串的設(shè)置,在自主探究、小組合作、師生互動中, 抓住學生有價值的知識生成,展開教學.通過問題2引起學生的認知沖突,通過討論,讓學生得到結(jié)論:氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度.通過問題3的討論,找出研究“陡峭程度”的數(shù)學方法,會用數(shù)學語言來表達世界,為得出函數(shù)平均變化率概念提供了案例基礎(chǔ).

3.數(shù)學建構(gòu),形成概念

我們通過分析氣溫的變化的圖象,研究了氣溫的變化情況,思考:

問題5已知函數(shù)y=f(x),從x1到x2的平均變化率如何計算?由此,你能總結(jié)出求函數(shù)平均變化率的一般步驟嗎?

問題6函數(shù)平均變化率的幾何意義是什么?

如圖3,平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,曲線的陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.用平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”,但應(yīng)注意當x2-x1很小時,這種量化便由“粗糙”逼近“精確”.

圖3

圖4

設(shè)計意圖:從實例探究抽象出一般性函數(shù)問題,通過問題5抽象概括出函數(shù)平均變化率的一般定義,問題6通過分析函數(shù)和圖象兩個角度理解平均變化率的意義.

4.數(shù)學運用,深化概念

課堂練習1:某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖5所示,試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率,由此你能得到什么結(jié)論?

圖5

例1 如圖6,水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的體積V(t)=5e-0.1t(單位:cm3),試計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率.

圖6

課堂練習2:已知函數(shù)f(x)=x2,分別計算函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均變化率.

例2已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計算函數(shù)f(x)及g(x)在區(qū)間[-3,-1],[0,5]上的平均變化率.

思考:從上例中,你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率有什么特點嗎?

設(shè)計意圖:練習1和練習2是函數(shù)平均變化率的簡單應(yīng)用,檢驗學生在不同情境中對平均變化率的理解,例1通過在新情境下,幫助學生理解平均變化率的實際意義,例2和思考,通過由特殊到一般的數(shù)學歸納的思想方法,從而進一步幫助學生理解平均變化率的幾何意義.

5.課堂小結(jié),總結(jié)提升

本節(jié)課你學到了什么?你可以從基本知識,基本技能,基本數(shù)學思想方法等不同的角度談?wù)?

設(shè)計意圖: 關(guān)注學生在課堂中的學習體驗中學到了哪些,讓學生從基本活動經(jīng)驗的學習過程中有所收獲,有所得,可以從基本知識,基本技能,基本數(shù)學思想方法等不同的角度談?wù)勛约旱氖斋@.

二、教學思考

1.問題驅(qū)動,促進概念生成

數(shù)學是各類科學中最抽象的科學,張奠宙教授提出:知識的基本形態(tài)分為知識的科學形態(tài)和知識的教育形態(tài),也就是知識的發(fā)生形式和知識的呈現(xiàn)形式.問題是數(shù)學的心臟,因此教學中需要把知識發(fā)生形式的過程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問題,使學生學會思考,使概念學習變?yōu)閷W生內(nèi)在需求.同時問題的設(shè)計要充分了解學生的認知水平和心理發(fā)展特點,注意選擇新穎有趣的活動作為刺激模式,激發(fā)學生主動觀察、思考、歸納、總結(jié),積極開展探究活動.通過情境1兩首不同的歌曲刺激學生思考它們的不同屬性,情境2通過“溫度變化曲線圖”感受氣溫變化的快慢,教師適時提出一系列的探究問題,讓學生借助這些“腳手架”討論如何研究變量變化的快慢,再結(jié)合前面所學的直線斜率相關(guān)知識形成“平均變化率”的概念.

2.五育并舉,自然融入課堂

良好的審美素養(yǎng)影響人對社會、對他人、對事物積極的人生態(tài)度,同時良好的審美素養(yǎng)對培養(yǎng)人的創(chuàng)造能力也十分重要.開頭過山車的圖片,情境1的音樂設(shè)置,使學生學會用數(shù)學的眼光度欣賞美,讓學生開闊視野,感悟?qū)嶋H中的美,數(shù)學中的美,激發(fā)學生培養(yǎng)藝術(shù)素養(yǎng),培養(yǎng)數(shù)學學科素養(yǎng),從而讓學生會用數(shù)學的眼光欣賞世界的美,會用數(shù)學的思維思考世界的美,會用數(shù)學的語言表達世界的美.

3.數(shù)形結(jié)合,滲透數(shù)學思想

認知心理學家羅斯認為,記憶中的概念是以這些概念的具體實例來表示的,而不是以某種抽象的規(guī)律或一系列相關(guān)特征來表示的.本課的實例“氣溫變化曲線圖”在學生的知識形成過程中起著重要的作用,“氣溫變化曲線圖”也就是學生 “平均變化率”的意象表征或心理表征,于是學生在生成“平均變化率”概念過程中,自然滲透了數(shù)學結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等重要的數(shù)學思想,以形解數(shù),以數(shù)助數(shù),形成研究數(shù)學問題可以從數(shù)形兩個角度尋求兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系,使得兩者在認識結(jié)構(gòu)中共存,以后在適當時機發(fā)揮重要的作用,在概念形成過程中滲透數(shù)學思想,潤物細無聲.