邊角關(guān)系共糾纏 基底法則來解難
——對2022年南昌一檢理第12題的求解

福建省福清第三中學(xué) (350315) 何 燈

試題呈現(xiàn)已知點A(-1,0),B(3,0),P是圓O:x2+y2=45上的動點,則sin∠APB的最大值為( ).

上述試題以圓為載體,考查三角形中的邊角關(guān)系;考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力;考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).由于P點位置的不確定,且所鋪設(shè)的條件無法直接轉(zhuǎn)化為∠APB,導(dǎo)致用正余弦定理求解本題較為困難.

借助于余弦定理及導(dǎo)數(shù)工具,有解答過程:

上述過程的求解思路較為自然:設(shè)點、求邊、余弦定理求角、化sin∠APB為m的函數(shù)、求導(dǎo)尋最值,但整個過程運(yùn)算量較為龐大,大部分同學(xué)無法順利完成.本題是否有其他較為簡潔的求解方法?

解析二:顯然,要使sin∠APB取最大值,點P不能在x軸上.

通過平面向量基本定理和基底法則,上述求解過程建立起分線長與三角形的邊角之間的聯(lián)系,進(jìn)而借助余弦定理及基本不等式,實現(xiàn)了問題的輕松求解,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和方程思想在問題求解過程中的引領(lǐng)作用.類似于上述過程,還可實現(xiàn)試題結(jié)論的一般性拓展,此留給有興趣的讀者繼續(xù)探究.