一道向量面積比問題的探究

江蘇省蘇州市張家港市外國語學(xué)校 (215600) 董文娟

1 試題呈現(xiàn)

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2 解法賞析

思路1:基底法

基底法是解決向量問題的常見方法,選定平面的一組基底后平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以用其線性表示,從而化為基底向量減少未知量,將問題簡(jiǎn)化.基底法一般會(huì)結(jié)合向量的基本定理,從數(shù)形結(jié)合角度去理解問題,綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等.

圖1

評(píng)注:三角形中選擇相鄰兩邊作為一組基底,將其他向量都用該基底線性表示,根據(jù)平行四邊形法則,構(gòu)建平行四邊形得到邊的關(guān)系,從而得到三角形面積關(guān)系.

思路2:坐標(biāo)法

向量和坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng),因此對(duì)于向量的問題除了直接利用向量解決,還可以考慮從坐標(biāo)入手.根據(jù)題目特點(diǎn),本題除了一般的建系方法外,還可以利用特殊位置特殊點(diǎn)來簡(jiǎn)化坐標(biāo),減少運(yùn)算.

圖2

解法3:(特殊圖形)如圖3,不妨取ΔABC為直角三角形,且取A(0,1),B(0,0),C(1,0).設(shè)

圖3

圖4

評(píng)注:坐標(biāo)化后向量問題數(shù)量化,向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題.對(duì)圖形或者點(diǎn)位置沒有具體要求的問題,可將條件特殊化再建系.

思路3:等和線定理

圖5

評(píng)注:在平面向量基本定理的表達(dá)式中,如果需要研究?jī)上禂?shù)的和時(shí),可以用等和線法.根據(jù)等和線定理,得到三角形邊的關(guān)系,由邊的關(guān)系可得到面積關(guān)系.

思路4:綜合幾何法

對(duì)向量的比例關(guān)系,從圖形上探求三角形的邊之間的關(guān)系,從而得到面積之間的關(guān)系,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題的優(yōu)勢(shì)所在.

圖6

圖7

評(píng)注:幾何法從圖形上直觀分析面積比關(guān)系,不用大量的定量計(jì)算,對(duì)平面幾何知識(shí)要求較高.

利用系數(shù)關(guān)系構(gòu)造新的三角形將點(diǎn)P位置特殊化為熟悉的重心,利用三角形面積公式,將面積比轉(zhuǎn)化為邊之比.

思路5:平面向量的外積

評(píng)注:平面向量的外積運(yùn)算,可以運(yùn)用在求三角形的面積問題中,在此考慮外積的大小不考慮其方向,要熟知外積運(yùn)算的性質(zhì).

思路6:奔馳定理法

向量的奔馳定理揭示了三角形的面積和向量之間的關(guān)系,對(duì)于解決三角形的面積比問題,空間四面體的體積比問題等都適用.

評(píng)析:奔馳定理的證明可以參考解法8,奔馳定理可以迅速的解決該面積比問題.對(duì)于點(diǎn)P在三角形外的問題,點(diǎn)P為三角形的四心問題,及對(duì)于空間四面體的問題也由相應(yīng)的推廣[1].

3 簡(jiǎn)單應(yīng)用

3.1 變形求面積比

3.2反求向量式系數(shù)問題

圖8

圖9

評(píng)注:點(diǎn)P在三角形內(nèi)或者三角形外,三角形面積都有類似的結(jié)論,根據(jù)向量關(guān)系先得到點(diǎn)所在位置,利用對(duì)應(yīng)的面積和系數(shù)比關(guān)系得到結(jié)果.逆向思維可以由面積比得到系數(shù)之比,從而得到向量的系數(shù)關(guān)系.遇到向量的系數(shù)問題,結(jié)果圖形考慮是否可以利用三角形的面積比問題.

4 小結(jié)

向量因其獨(dú)特的雙重性,在解題中靈活多變的思路,成為學(xué)生懼怕的對(duì)象.對(duì)于面積比問題的多解分析,更加透徹理解面積比問題的處理,從而對(duì)一些向量式的系數(shù)問題模式化.

對(duì)一題多解,在教學(xué)中不可一刀切只講一種方法,也不可面面俱到,應(yīng)呈現(xiàn)給學(xué)生一些有價(jià)值的想法,達(dá)到對(duì)問題的深刻理解,對(duì)問題考查方式的全面理解,對(duì)解法的靈活運(yùn)用,從而對(duì)問題更加全面的思考.通過一題多解,歸納多題同解,讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)背景,數(shù)學(xué)知識(shí),數(shù)學(xué)思想方法深入理解.從一個(gè)有意義且不復(fù)雜的題目去挖掘各個(gè)方面的信息,從一道題領(lǐng)悟無線道題的可能.