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    平面幾何中“+=”型問題的新證法

    2011-02-01 06:30:34324300浙江省開化縣第二中學(xué)曹嘉興
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2011年12期
    關(guān)鍵詞:易知開化縣正三角形

    324300 浙江省開化縣第二中學(xué) 曹嘉興

    324300 浙江省開化縣第二中學(xué) 曹嘉興

    基本引理 如圖1,已知 AB∥EF∥CD,則

    圖1

    證明 因?yàn)锳B∥EF∥CD,

    圖2

    例1 如 圖 2,在△ABC中,已知 AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于點(diǎn)E.

    證明 過點(diǎn)B作BF∥DE與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,因?yàn)镈E∥AC,所以BF∥AC,于是∠F=∠CAD,又因?yàn)?/p>

    例2 如圖3,已知∠POR=120°,OQ 平分∠POR,直線 l分別交 OP,OQ,OR 于 A,B,C.

    圖3

    證明 延長(zhǎng)AO至點(diǎn)D使OD=OC,延長(zhǎng) CO至點(diǎn) E使OE=OA,連接 CD,AE.易知△OCD,△OAE均為正三角形,故得CD∥OB∥AE.

    例3 如圖4,在 Rt△ABC中,⊙O的圓心在斜邊AB上,直角邊 AC,BC分別切半圓于G,F(xiàn),⊙O 交斜邊 AB 于 D,E.

    圖4

    證明 延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M使CM=AC,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)N使CN=BC,并連接 AM,BN,OC,OF,OG.易知△ACM,△BCN均為等腰直角三角形,且四邊形OFCG為正方形,

    故得AM∥OC∥BN.

    例4 如圖5,△ABC是等腰三角形,過底邊BC的中點(diǎn)D任意作一直線l分別交一腰和另一腰的延長(zhǎng)線于M,N兩點(diǎn),設(shè)AC的中點(diǎn)為E.

    圖5

    證明 連接DE,過點(diǎn)N作NF∥DE與ME的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,由三角形的中位線定理可知AB∥DE∥NF.

    在“山”字形AMDNFE中,

    圖6

    例5 如圖6,在△ABC中,四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接正方形,AM是BC邊上的高,高AM分別交 BC,DG 于 M,N.

    證明 過點(diǎn)B作BH∥DE與AE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,

    易知BH∥DE∥AM.

    又因?yàn)镈E=DG,所以BH=BC,又DE=EF,

    例6 如圖7,△ABC是直角三角形,分別以直角邊AC,BC為邊向形外作正方形 ACDE,BCFG,連接 BE,AG分別交 AC,BC于 R,S.

    圖7

    證明 過點(diǎn)R作RH∥BC交AB于點(diǎn)H,易知AE∥RH∥BC.

    例7 如圖8,已知A,B,D三點(diǎn)共線,△ABC,△BDE都是正三角形,連接CD,AE,分別交 BE,BC于G,F(xiàn).

    圖8

    證明 過點(diǎn)F作FH∥AC交AB于點(diǎn)H,

    易知AC∥FH∥BE.

    在“山”字形CAHBEF中,利用基本引理得

    顯然△BFH是正三角形,所以FH=BF.

    又因?yàn)锽E=DE,

    圖9

    例8 如圖9,在△ABC中,∠A ∶∠B ∶∠C=1 ∶2 ∶4.

    證明 不妨設(shè)∠CAB=α,則∠ABC=2α,∠ACB=4α.

    在△ABC的內(nèi)部作∠ACD=α交AB于點(diǎn)D,

    則∠CDB=2α =∠ABC,于是 CD=CB=a.

    過點(diǎn)B作BE∥CD與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,

    過點(diǎn)A作AF∥CD與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,

    易知∠E=∠ACD=α,∠F=∠DCB=3α=∠ACF,

    故得 BE=BA=c,AF=AC=b.顯然 AF∥CD∥BE.

    在“山”字形FADBEC中,利用基本引理得

    20110406)

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