關(guān)于t－blocking集合的一個(gè)新下界＊

曹金明，沈 雁，周 瑞

（湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082）

1 簡(jiǎn) 介

設(shè)Fq為有q個(gè)元素的有限域.PG（2，q）是Fq上的一個(gè)二維射影空間.PG（2，q）中的一個(gè)t－blocking集合定義為這樣的一個(gè)點(diǎn)集，它與PG（2，q）中的每條直線都至少相交t個(gè)點(diǎn)，并且存在一條直線與之正好相交t個(gè)點(diǎn).

由于t－blocking集合的多樣性，不可能決定一般的t－blocking集合的精確值，所以估計(jì)t－blocking集合的元素的上下界就是自然的事情.

其中第二條的內(nèi)容就是有名的Ball定理.它要求t－blocking集合不包含一條直線.在本文中，對(duì)Ball定理的條件和結(jié)論進(jìn)行改進(jìn)，得到了S的一個(gè)新的更大的下界，即定理1.

定理1 設(shè)S為PG（2，q）中的一個(gè)有k個(gè)元的t－blocking集合，令k＝tq＋x，則

2 主要結(jié)果

首先給出t－blocking集合中一個(gè)很重要的引理.

設(shè)K為PG（2，q）中的一個(gè)t－blocking集合.對(duì)PG（2，q）中的任意一條直線Li，我們定義ti＝K｜（1≤i≤q2＋q＋1）.并定義二元數(shù)組（P，L），其中P∈K，L為過點(diǎn)P的直線.

引理1 設(shè)K為PG（2，q）中的一個(gè)t－blocking集合，ti如上所示，則

證 我們通過2種不同的方法來計(jì)算所有符合條件的二元數(shù)組（P，L）的個(gè)數(shù).

因?yàn)镻G（2，q）中任意一條直線Li上有ti個(gè)點(diǎn)是屬于K中的，即它確定了ti個(gè)不同的二元數(shù)組，而在PG（2，q）中共有q2＋q＋1條直線，所以所有符合條件的

另外也可用過點(diǎn)P的直線的條數(shù)來計(jì)算這些二元數(shù)組的個(gè)數(shù).因?yàn)檫^點(diǎn)P的直線有q＋1條，即這一點(diǎn)確定了q＋1個(gè)二元數(shù)組，而K中點(diǎn)的個(gè)數(shù)總共有個(gè)，所以所有符合條件的＝（q＋1）.

下面證明定理1.

證 （?。┊?dāng)x≥q時(shí)，結(jié)論顯然成立.

（ⅱ）當(dāng)x＜q時(shí)，我們對(duì)PG（2，q）中的任意一條直線Li，定義ti＝，（1＝1，…，q2＋q＋1）.

現(xiàn)在來證明在PG（2，q）中每條直線上最多有S中的x個(gè)點(diǎn).

利用反證法：假設(shè)PG（2，q）中存在一條直線Li0與S相交的點(diǎn)有x＋1個(gè)，那么Li0至少有一點(diǎn)Q不屬于S.因?yàn)檫^點(diǎn)Q的直線有q＋1條，那么計(jì)算過點(diǎn)Q的q＋1條直線上S的點(diǎn)數(shù).根據(jù)t－blocking集合的定義，過點(diǎn)Q的每條直線上至少有S上的t個(gè)點(diǎn)，則k≥tq＋x＋1.

這與題設(shè)k＝tq＋x矛盾.因此，每條直線上最多有S中的x個(gè)點(diǎn)，不屬于S的點(diǎn)至少有q＋1－x個(gè).顯然，x≥t.

現(xiàn)在對(duì)PG（2，q）中所有直線上的ti求和：S，L為PG（2，q）中過點(diǎn)P的直線｝｜＝｜S｜（q＋1）＝k（q＋1）.

下面對(duì)PG（2，q）中所有直線上的ti－t求和：

取任意的一點(diǎn)N∈PG（2，q）－S，過點(diǎn)N的q＋1條直線分別為M1，…，Mq＋1，令mi＝，1≤i≤q＋1，得到：

因此對(duì)過點(diǎn)N的q＋1條直線上的mi－t求和，有：

這樣

現(xiàn)在，比較式（1）和式（2）：式（1）是對(duì)PG（2，q）中所有直線上的ti－t求和，而且PG（2，q）中的每條直線都被計(jì)算且只被計(jì)算了一次.而在式（2）中，前面已經(jīng)證明了每條直線上至少有q＋1－x個(gè)點(diǎn)在PG（2，q）－S中，因此每條直線在式（2）中至少被重復(fù)計(jì)算了q＋1－x次.這樣，就得到了關(guān)于式（1）和式（2）的不等式：

即

化簡(jiǎn)得：

解這個(gè)不等式：

這個(gè)結(jié)果比Ball定理要好一些，事實(shí)上，將兩個(gè)結(jié)果作差，得到：

［1］ BALL S.Multiple blocking sets and arcs in finite planes［J］.J London Math Soc，1996（54）：581－593.

［2］ BLOCKHUIS A.On multiple nuclei and a conjecture of lunelli and sce［J］.Bull Belg Math Soc，1994（3）：349－353.

［3］ BRUEN A A.Polynomial multiplicities over finite fields and intersection sets［J］.J Combin Theory Ser A，1992（60）：19－33.

［4］ HILL R.Some problems concerning（k，n）－arcs in finite projective planes［J］.Rend Sem Mat Brescia，1984（7）：367－383.