尋找勾股數(shù)組的歷程

趙國瑞

勾股定理反映了各數(shù)之間存在著的一種關(guān)系——x2+y2=z2，歷史上稱它為勾股方程。古人很早就知道32+42=52，即3，4，5滿足這個(gè)方程。后來陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的還有5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41，……這些三個(gè)一組滿足勾股方程的數(shù)就稱為“勾股數(shù)組”。

古代很多數(shù)學(xué)家都曾提出過勾股數(shù)組的計(jì)算公式。

上述的每種表達(dá)式都可以寫出無數(shù)組勾股數(shù)，但都不能寫出所有的勾股數(shù)組。例如，不能寫出（8，15，17）這組勾股數(shù)，因?yàn)樵诋呥_(dá)哥拉斯的表達(dá)式所得的勾股數(shù)中，總有兩個(gè)相鄰的數(shù)（b，c相鄰），而在柏拉圖的表達(dá)式中，總有兩個(gè)數(shù)的差等于2（c-b=2）。

這是大家熟悉且常用的表達(dá)式，利用丟番圖的表達(dá)式所得的勾股數(shù)組，仍然不能算出所有的勾股數(shù)組，例如“9，12，15”這組勾股數(shù)就不包含在其中。

值得驕傲的是，歐幾里得的勾股數(shù)組表達(dá)式并不比丟番圖的勾股數(shù)組表達(dá)式遜色。因?yàn)橹灰跉W幾里得的勾股數(shù)組表達(dá)式中，令p=2m2，q=2n2就得到丟番圖的勾股數(shù)組表達(dá)式。但是在歐幾里得的勾股數(shù)組表達(dá)式中，令p=27，q=3，所得的一組勾股數(shù)組（9，12，15）是不可能從丟番圖的勾股數(shù)組表達(dá)式中直接獲得的，從這一點(diǎn)上說，歐幾里得的勾股數(shù)組表達(dá)式要比丟番圖的勾股數(shù)組表達(dá)式優(yōu)越。