數(shù)學(xué)化歸法的運(yùn)用
——以“函數(shù)與角度”為例

☉湖北省武漢市二橋中學(xué) 張 蓓

有這樣一個(gè)故事，一天，數(shù)學(xué)家波利亞碰到一個(gè)物理學(xué)家，他問這個(gè)物理學(xué)家：“給你一個(gè)煤氣灶，一個(gè)水龍頭，一個(gè)空水壺，讓你燒一滿壺開水，你應(yīng)該怎么做？”物理學(xué)家回答：“把空水壺放到水龍頭下，打開水籠頭，灌滿一壺水，再把水壺放到煤氣灶上，點(diǎn)燃煤氣灶，把一滿壺水燒開.”

波利亞說：“對(duì)，這個(gè)問題解決得很好.現(xiàn)在再問你一個(gè)問題：給你一個(gè)煤氣灶，一個(gè)水龍頭，一個(gè)已裝了半壺水的水壺，讓你燒一滿壺開水，你又應(yīng)該怎么做？”物理學(xué)家說：“把裝了半壺水的壺放到水籠頭下，打開水龍頭，灌成一滿壺水，再把水壺放到煤氣灶上，點(diǎn)燃煤氣灶，把一滿壺水燒開.”但是波利亞的回答是：“把裝了半壺水的水壺倒空，就化歸為剛才已解決的問題了.”

化歸的數(shù)學(xué)方法是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段，將問題轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法，一般將問題由難化易，由簡(jiǎn)化繁，由復(fù)雜化簡(jiǎn)單.下面就以武漢市中考第24題為例，針對(duì)函數(shù)與角度問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)化歸思想解決這類問題.

一、課堂前置

圖1

選擇學(xué)生比較熟悉的四個(gè)函數(shù)與角度的問題，讓學(xué)生自己動(dòng)手解決，并嘗試發(fā)現(xiàn)四個(gè)題目的內(nèi)在聯(lián)系.

題目1：如圖1，拋物線y=x2-2x-1交y軸于點(diǎn)P，且經(jīng)過點(diǎn)E（3，2），點(diǎn)F為拋物線上一點(diǎn)，且PF⊥PE，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

解題過程：過點(diǎn)E、F分別向y軸作垂線，交y軸于M、N兩點(diǎn).

由PF⊥PE，得∠EPF=90°.易得△EMP △PNF.

則-1-a=a2-2a-1，則a1=1，a2=0（舍去）.

則點(diǎn)F（1，-2）.

思考：學(xué)生利用垂直這個(gè)條件，得到兩個(gè)角互余的相似直角三角形，從而得到線段關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)，最后求出結(jié)果.

題目2：如圖2，拋物線y=x2-4x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且∠ACP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解題過程：過點(diǎn)A作AM⊥AC交CP于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交x軸于點(diǎn)N.

思考：這一題與上一題有什么區(qū)別呢？沒有垂直的條件，所以要把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成上個(gè)垂直的問題，因此，過點(diǎn)A作AM⊥AC，通過構(gòu)造，就將此問題化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題了.

下面，我們?cè)賮砜吹谌}（武漢市中考第24題），方法是不是就很明顯了呢？

圖2

圖3

題目3：如圖3，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.P為拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的上方，直線AP與拋物線交于另一點(diǎn)D，連接AC、DC，若∠ACD=60°，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

解題過程：（化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題）過點(diǎn)A作AM⊥AC，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N.

最后來看：這個(gè)問題是否也能化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題呢？請(qǐng)主動(dòng)嘗試一下.

題目4：如圖4，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接PC，tan∠PCB=3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解題過程：過點(diǎn)B作BM⊥CB交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交x軸于點(diǎn)N.

直線CM的解析式為y=x+2.

則點(diǎn)P（7，9）.

那么，是不是所有函數(shù)與角度問題都可以化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題呢？我們繼續(xù)往下看.

圖4

圖5

題目5：如圖5，已知拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)C作直線交拋物線于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q，且∠PCB=∠OCA，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

這題的解法有多種，可化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題解決.

方法1：過點(diǎn)B作BM⊥CB交CQ于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N（化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題），得到兩個(gè)相似的直角三角形，從而得到線段比，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).最后通過直線與拋物線的解析式，求出交點(diǎn)的坐標(biāo).

方法2：過點(diǎn)A作AM⊥CA交CQ于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，（化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題）得到兩個(gè)相似的直角三角形，從而得到線段比，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).最后通過直線與拋物線的解析式，求出交點(diǎn)的坐標(biāo).

總結(jié)：函數(shù)與已知角（特殊角度、已知三角函數(shù)值的角度、可求三角函數(shù)值的角度等）的問題都可化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題，從而解決問題.

那么，如果是函數(shù)與未知角，又該如何解決呢？我們一起來看看.

圖6

題目6：如圖6，拋物線y=x2-n2（n＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

（1）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，求拋物線的解析式；

（2）E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AE、CE，AE交y軸于點(diǎn)D，CE交x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，若∠EAO=∠ECO，求DF的長(zhǎng).

分析：這個(gè)問題顯然不能化歸為第一個(gè)數(shù)學(xué)問題，我們可以創(chuàng)造一個(gè)新的模型解決這一類動(dòng)角（未知角）問題.

∠EAO=∠ECO，找這兩個(gè)角所在的三角形（直角三角形），由相似得到線段關(guān)系，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解決這類問題.

圖7

通過以上總結(jié)，你可以自己來解決函數(shù)與角度問題了嗎？其實(shí)，只需要區(qū)分角度是哪一類，我們就可以用化歸法將問題轉(zhuǎn)化，從而解決好函數(shù)與角度問題.下面我們來檢測(cè)一下吧.

［素養(yǎng)提升］

練習(xí)題1：拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.

（1）如圖8，若點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），

①求拋物線的解析式；

②P為拋物線上一點(diǎn)，連接AC、PC，若∠PCO=3∠ACO，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

圖8

圖9

（2）如圖9，D為x軸下方拋物線上一點(diǎn)，連接DA、DB，若∠BDA+2∠BAD=90°，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo).