讓思維插上翅膀
——訓(xùn)練聯(lián)想思維能力

☉江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校 施文軍

數(shù)學(xué)是一門整體建構(gòu)的學(xué)科，集較強邏輯性和結(jié)構(gòu)性為一體，每個部分、不同章節(jié)的知識都是相互貫通的.學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，通過展開豐富、活躍的聯(lián)想，有序地建構(gòu)解題思路，從而使抽象的知識形象化，使模糊的知識清晰化，簡化煩瑣的知識，熟悉陌生的知識.聯(lián)想還可以幫助學(xué)生理解和鞏固知識，如概念、公式、定理等，發(fā)展學(xué)生的思維能力和深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.本文中，筆者結(jié)合自身的教學(xué)與實踐，就如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，談?wù)勛陨淼囊恍┧伎?

一、通過整合新、舊知識激活學(xué)生的聯(lián)想

學(xué)習(xí)新知識需要以舊知識為基礎(chǔ)，在舊知識的基礎(chǔ)上進行引申，或基于舊知識增加新的內(nèi)容，又或?qū)⑴f知識重組或轉(zhuǎn)化.總之，舊知識是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的“載體”和“依托”，其引領(lǐng)著學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)展.

圖1

例1圖1為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像，據(jù)圖像回答以下問題：

（1）求方程ax2+bx+c=0的兩根；

（2）求不等式ax2+bx+c＞0的解集；

（3）若方程ax2+bx+c=k有兩個不同的實根，求k的取值范圍.

分析：在解決問題（1）時，筆者沒有給出提示，學(xué)生紛紛去求拋物線的解析式，而后去解方程.筆者對這種方法首先給予了肯定，同時引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析二次函數(shù)與一元二次方程的內(nèi)在聯(lián)系和差別.學(xué)生快速聯(lián)想到二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），若y=0，便可得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.因此求解方程ax2+bx+c=0（a≠0），僅僅需要求拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)即可.

根據(jù)問題（1）的解題經(jīng)驗，不少學(xué)生在求解問題（2）時不再去求解不等式了.經(jīng)過觀察，學(xué)生可以聯(lián)想到在二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，若y＞0，便可得不等式ax2+bx+c＞0（a≠0），從而不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集為二次函數(shù)在x軸上方的圖像對應(yīng)的橫坐標(biāo)，由此得出解集1＜x＜3.

值得欣喜的是，在求解問題（3）時，一些學(xué)生僅僅借助觀察就很快得出結(jié)果.筆者適時誘導(dǎo)學(xué)生進行解說，從而打開了學(xué)生的思維，個個躍躍欲試，并展示了精彩的講解場面，外顯了學(xué)生的思考過程.

二、直觀與抽象有機結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的聯(lián)想

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想是較為常用的思想方法，也就是牢牢把握數(shù)與形之間的根本關(guān)聯(lián)，用“形”的形象和具體去表述“數(shù)”，用“數(shù)”的精確和抽象去探究“形”的一種思想方法.通常我們在解決一些性質(zhì)不明的代數(shù)式時，會充分運用圖形的“形”進行直觀表達，使之更為直觀和清晰.

例2求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值.

分析：此題作為一道代數(shù)題，其已知條件一目了然，不過學(xué)生卻感到束手無策.如果此時學(xué)生可以從“絕對值的幾何意義”出發(fā)并進行關(guān)聯(lián)，利用數(shù)軸構(gòu)建幾何模型，那么問題可以完美地轉(zhuǎn)化為“從數(shù)軸上找出點x，使之到數(shù)軸上1、2、3的距離之和最小”.這樣一來，問題就變得較為清晰了，學(xué)生則很容易發(fā)現(xiàn)x位于數(shù)軸上2的位置時，|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值2.此時，教師可以做進一步的引申和推廣，讓學(xué)生分別去求|x-1|+|x-2|的最小值，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值.經(jīng)歷過原型的聯(lián)想，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出從特殊到一般的規(guī)律，求解y=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|的最小值.

因此，借助數(shù)形結(jié)合，激發(fā)學(xué)生展開豐富活躍的聯(lián)系，可以活躍學(xué)生的思維，讓思維變得更加清晰.

三、直覺與推理有機結(jié)合，促發(fā)學(xué)生的聯(lián)想

學(xué)生在解決問題時，通常會通過直覺的判斷來構(gòu)建