問君知悉幾多美，數(shù)學(xué)自帶凌云筆*

☉安徽省合肥市第四十八中學(xué)教育集團(tuán) 史承灼

☉安徽省合肥市第四十八中學(xué)教育集團(tuán)濱湖校區(qū) 鄒太芹

數(shù)學(xué)評論家普洛克拉斯說：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”數(shù)理邏輯學(xué)家羅素也指出：“數(shù)學(xué)，如果正常地看它，不但擁有真理，而且具有至高的美，正如雕塑的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美.”數(shù)學(xué)美隱藏在單調(diào)的數(shù)字和公式中，需要通過思考才可發(fā)現(xiàn)它、欣賞它.關(guān)于數(shù)學(xué)美的論述很多，本文以不同的視角，談?wù)劷虒W(xué)中的數(shù)學(xué)之美.

一、數(shù)學(xué)語言的凝練之美

數(shù)學(xué)語言極其嚴(yán)密、精煉，有嚴(yán)格的界定和明確的含義，一字之差，意義相差甚遠(yuǎn)，需要用心感受數(shù)學(xué)的簡約、凝練之美.

案例1：角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

師：角平分線的性質(zhì)定理是什么？

生：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.

師：它的逆命題是什么？

生：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

師：誰來解釋一下點(diǎn)到角的兩邊的距離的含義？

生：在圖1中，點(diǎn)D到線段AB的距離，就是點(diǎn)D到線段AB所在直線的距離，所以要把線段AB反向延長，線段DE的長度是點(diǎn)D到直線AB的距離，也是點(diǎn)D到線段AB的距離，因?yàn)榫€段、射線都是直線的一部分.角的兩邊是兩條射線，點(diǎn)到角的兩邊距離相等，可以理解為點(diǎn)到角的兩邊所在直線的距離相等.因此，到角兩邊的距離相等的點(diǎn)的位置有三種情況，如圖2、圖3和圖4.

圖4

師：也就是說，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，應(yīng)該是在這個(gè)角的平分線所在直線上或這個(gè)角的鄰補(bǔ)角的角平分線所在直線上.所以，這個(gè)逆命題還應(yīng)該補(bǔ)充一點(diǎn)什么？

生：點(diǎn)在角的內(nèi)部.

師：請完整敘述這個(gè)逆命題.

生：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

教師一連串追問的目的，是想讓學(xué)生抓住角平分線判定定理中的兩個(gè)關(guān)鍵詞：到角的兩邊距離、角的內(nèi)部，學(xué)生在問題的思考和解決過程中，剝繭抽絲，辨析本質(zhì)，體會到數(shù)學(xué)語言的簡約、凝練之美.

二、數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)之美

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和應(yīng)用的普遍性.同時(shí)，數(shù)學(xué)中的概念和原理、思想和方法等，構(gòu)成了一個(gè)完美的整體結(jié)構(gòu).

案例2：一元二次方程的解法、根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu).

關(guān)于一元二次方程的解法，首先可從直接開平方入手，解形如x2=b（b≥0）的一元二次方程，進(jìn)而解形如（x±a）2=b（b≥0）的一元二次方程，在轉(zhuǎn)化中解決問題，實(shí)現(xiàn)知識的小臺階推進(jìn).接下來求解類似x2+x-1=0的一元二次方程，這是一個(gè)承上啟下的環(huán)節(jié)，既要借助前面的方法解決這個(gè)問題，將x2+x-1=0化歸成，又要為下面的公式法求解提供方法與方向.然后求解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），思考的方向是“如何將具體的一般形式轉(zhuǎn)化為可以直接開平方的形式”！

當(dāng)我們竊喜找到求ax2+bx+c=0（a≠0）的根的通法之時(shí)，新的問題應(yīng)運(yùn)而生.對于配好后的式子，真的可以肆無忌憚地直接開平方嗎？一個(gè)懸疑，引出兩個(gè)結(jié)論：（1）b2-4ac的值的情況決定方程是否存在實(shí)數(shù)根；（2）b2-4ac的值的情況決定方程實(shí)數(shù)根之間的大小關(guān)系.由（1）很自然地生成了“根的判別式”，而由根的判別式Δ=b2-4ac和求根公式，同樣很自然地得到“系數(shù)與根有關(guān)系”的判斷.關(guān)系具有相互性，根對系數(shù)又有什么影響呢？回到因式分解解一元二次方程中，對于方程（x-a）（x-b）=0，兩根分別是x1=a，x2=b，先明確方程的根，再將方程還原成一元二次方程的一般形式x2+［-（a+b）］x+ab=0，進(jìn)一步置換成x2+［-（x1+x2）］x+x1x2=0的形式，如此，不難得到猜想：如果一元二次方程x2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，那么x1+x2=-b，x1x2=c.對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行化歸，兩邊同時(shí)除以系數(shù)a得到根對系數(shù)的直接影響是對于以上猜想，可用求根公式進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推理.

一元二次方程的眾多知識和方法，通過它們之間的內(nèi)在邏輯，成為一個(gè)完美的整體結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)之美不禁讓人掩卷之余蕩氣回腸.

三、跨越時(shí)空的數(shù)學(xué)文化之美

數(shù)學(xué)家哈代認(rèn)為，不美的數(shù)學(xué)在世界上是找不到永久容身之地的.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，有著太多的跨越時(shí)間和空間的殊途同歸杰作.

案例3：海倫—秦九昭公式.

古希臘數(shù)學(xué)家海倫在《共制》的《度量論》中，給出了三角形面積公式：c）（其中a、b、c分別為三角形三邊長，S為三角形的面積）.無獨(dú)有偶，我國宋代數(shù)學(xué)家秦九昭在《數(shù)學(xué)九章》中，用表示三角形的面積.其實(shí)這兩個(gè)公式的本質(zhì)是一樣的，推理如下：

不知道大家有沒有想過，這兩個(gè)公式的源頭在哪里呢？真是無巧不成書，就在筆者現(xiàn)在所帶的學(xué)生中，兩名學(xué)生不約而同給出了海倫—秦九昭公式的推導(dǎo)過程.

已知：如圖5，△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a（a＞b＞c），AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，若BD=x，則CD=a-x.

圖5

由勾股定理可得c2-x2=b2-（a-x）2.

上述過程可能不完美，但兩名八年級的學(xué)生能給出這樣的答案，足以讓人自豪.由此不僅讓人感嘆數(shù)學(xué)是如此的“魅惑眾生”！數(shù)學(xué)的魅力真是亙古綿長、滔滔不絕.

四、數(shù)學(xué)應(yīng)用的模型之美

許晨陽說：“不是我們創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，而是它一直在那里，我們只是發(fā)現(xiàn)了它而已.”數(shù)學(xué)是一門抽象且邏輯性強(qiáng)的學(xué)科，而中小學(xué)生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，所以需要教育者提供適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材，用思維和創(chuàng)意讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的模型之美.

案例4：翻幣問題：如果桌上有3枚紀(jì)念幣，正面全部向上，每次將其中的2枚同時(shí)翻轉(zhuǎn)，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使3枚紀(jì)念幣的反面全部向上？

這是在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)加、減、乘、除、乘方運(yùn)算之后，為進(jìn)一步加深對有理數(shù)符號運(yùn)算的理解而進(jìn)行的綜合實(shí)踐研究.需要將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，同時(shí)滲透分類、轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想和方法.為了操作的方便與直觀，可把“翻幣問題”改為“翻轉(zhuǎn)紙杯問題”.

師：取3只紙杯，杯口全部朝上，每次翻轉(zhuǎn)2只紙杯，經(jīng)過若干次操作，能否使杯口全部朝下？若能成功，最少需要幾次？

學(xué)生小組合作，操作嘗試.

師：翻轉(zhuǎn)的過程，可以抽象為乘“-1”的過程.以3只杯口朝上的紙杯為例，現(xiàn)在擺在桌面上的3只紙杯，在你眼中是什么？

生：3個(gè)“+1”.

師：用S翻轉(zhuǎn)前=（+1）×（+1）×（+1）=+1表示翻轉(zhuǎn)前的情況，那么，假如反轉(zhuǎn)后能使3個(gè)杯口全部朝下，應(yīng)該如何表示？

生：S翻轉(zhuǎn)后=（-1）×（-1）×（-1）=-1.

師：一次翻轉(zhuǎn)2個(gè)紙杯，翻轉(zhuǎn)過程中的結(jié)果S如何用式子表示？

生：S=（+1）×（-1）×（-1）=（+1）×（+1）=+1.

師：換句話說，每次翻轉(zhuǎn)2個(gè)紙杯，相當(dāng)于在S翻轉(zhuǎn)前的基礎(chǔ)上乘什么？

生：乘“+1”.

師：你能解釋“3翻2”注定失敗的原因嗎？

生：（充分思考、討論后）S翻轉(zhuǎn)前=+1.每翻轉(zhuǎn)1次，相當(dāng)于S=（+1）×S翻轉(zhuǎn)前=（+1）×（+1）=+1.翻轉(zhuǎn)n次，相當(dāng)于S=（+1）×（+1）n=+1≠-1=S翻轉(zhuǎn)后，所以“3翻2”注定失敗.

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，首先要把實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)問題明確表述出來，然后才能使用數(shù)學(xué)的理論和方法進(jìn)行分析，得出結(jié)論，最后返回去解決現(xiàn)實(shí)問題.由于實(shí)際問題的復(fù)雜性，往往很難把現(xiàn)成的數(shù)學(xué)理論直接套用到這些實(shí)際問題上，這就要求在數(shù)學(xué)理論和所要解決的實(shí)際問題之間構(gòu)建一個(gè)橋梁加以溝通，以便把實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)明確表示出來，這個(gè)橋梁就是“數(shù)學(xué)模型”，這個(gè)橋梁的構(gòu)建過程就是“數(shù)學(xué)建?！?

徜徉在數(shù)學(xué)的殿堂中，與美共存，師生在數(shù)學(xué)之美中共生共長，是生命的一種別樣享受.