在探究中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

北京市順義牛欄山第一中學(xué) 胡亞萍 張傳海

在教學(xué)素材的選擇過(guò)程中,善于挖掘發(fā)現(xiàn)題海中那些絢麗的珠貝,那些對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)體驗(yàn)有深遠(yuǎn)影響的問(wèn)題,運(yùn)用到教學(xué)過(guò)程中,能夠很好地優(yōu)(效率高)化、雅(不落俗套)化、趣味化教學(xué)的過(guò)程,從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

甄選好的素材,進(jìn)行一題多解的課堂教學(xué)就是其中一種方式.但是,這些方法是怎樣產(chǎn)生的?他們之間的邏輯關(guān)系又是怎樣,思考解決方法時(shí)學(xué)生的思維活動(dòng)是怎么展開(kāi)的,有什么規(guī)律?通過(guò)這個(gè)過(guò)程學(xué)會(huì)什么?這是學(xué)生要逐步學(xué)會(huì)的,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),學(xué)會(huì)思維.

下面就是一個(gè)很好的問(wèn)題.

如圖,在三角形ABC中,D為BC的中點(diǎn),F為AB邊所在的直線上一點(diǎn),連接CF交直線AD于點(diǎn)E,若,求的值.

分析:本題中的條件是兩個(gè)比例關(guān)系,D為BC的中點(diǎn),所求也是一個(gè)比例關(guān)系,求的值.站在知識(shí)系統(tǒng)的角度來(lái)考慮,與之相關(guān)的是平行線分線段成比例定理以及三角形相似的知識(shí).但是問(wèn)題中并沒(méi)有平行線,因此,問(wèn)題解決的核心工作就是——大膽嘗試著作出平行線、得到相似形,得到比例關(guān)系,建立已知和求解的聯(lián)系.

例題圖

圖1

探索一:從點(diǎn)B作平行線

解法一:(如圖1) 過(guò)點(diǎn)B作CF的平行線交AE于點(diǎn)M,因?yàn)锽D=DC,∠BDM=∠CDE,∠DBM=∠DCE,所以?BDM?CDE,所以BM=CE,又因?yàn)樗运运郧蟮?

解法二:(如圖2) 過(guò)點(diǎn)B作AE的平行線交FC于點(diǎn)M,因?yàn)锽D=DC,所以ME=CE,又因?yàn)樗运?

圖2

圖3

探索二:從點(diǎn)D作平行線

解法三:(如圖3) 過(guò)點(diǎn)D作AF的平行線交CF于點(diǎn)M,所以?EDM?EAF,?CDM?CBF.因?yàn)锽D=DC,所以BF=2DM,同時(shí)有FM=MC,又因?yàn)樗运运訟F=3DM,故有AB=AF?BF=DM,所以.

解法四:(如圖4) 過(guò)點(diǎn)D作CF的平行線交AF于點(diǎn)M,所以?BDM?BCF,?ADM?AEF.因?yàn)锽D=DC,所以BM=MF且有又因?yàn)樗怨视兴訟B=BM,求得.

圖4

圖5

探索三:從點(diǎn)E作平行線

解法五:(如圖5) 過(guò)點(diǎn)E作AF的平行線交CB于點(diǎn)M,所以?CME?CBF,?EDM?ADB.因?yàn)樗砸驗(yàn)锽D=DC,所以所以故BF=2AB,求得

解法六:(如圖6)過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交AF于點(diǎn)M,所以?ABD?AME,?FME?FBC.因?yàn)镃E=則因?yàn)锽D=DC,故有即所以由得FM=3BM,由AB=所以.

圖6

圖7

探索四:從點(diǎn)F作平行線

解法七:(如圖7) 過(guò)點(diǎn)F作AE的平行線交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,所以?CDE?CMF,?ABD?FBM.因?yàn)樗砸驗(yàn)锽D=DC,所以求得.

解法八:(如圖8) 過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,所以?ABD?AFM,?DEC?MEF.因?yàn)樗砸驗(yàn)锽D=DC,所以故有求得.

圖8

圖9

圖10

探索五:從點(diǎn)C作平行線

解法九:(如圖9) 過(guò)點(diǎn)C作AF的平行線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,因?yàn)锽D=DC,所以?AEF?MCE,?ADB?MDC.因 為所以有且CM=AB,故有.

(如圖10,過(guò)點(diǎn)C作AE的平行線交FA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,該方法無(wú)法使條件和所求之間建立聯(lián)系,無(wú)法求出結(jié)果,放棄!)

探索六:從點(diǎn)A作平行線

(如圖11,過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M;如圖12,過(guò)點(diǎn)A作FC的平行線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M;該兩方法均無(wú)法使條件和所求之間建立聯(lián)系,無(wú)法求出結(jié)果,放棄!)

圖11

圖12

探索七:融合發(fā)現(xiàn)

解法十:(如圖13,解法三的伴生方法) 過(guò)點(diǎn)D作AF的平行線交CF于點(diǎn)M,連接BM,因?yàn)锽D=DC,所以CM=MF,又因?yàn)樗訫E=CE,所以三角形CBM中,DE為中位線,所以BM//DE,即BM//AE,所以.

圖13

圖14

解法十一:(如圖14,面積法) 連接DF,因?yàn)镃E=所以EF=3CE,設(shè)?DEC的面積為a,則?DEF的面積為3a,因?yàn)锽D=DC,所以?DBF的面積等于?DCF的面積為4a,?ABD與?ADC面積相等設(shè)為x,則?AEF的面積為?AEC面積的3 倍,即7a+x=3(a+x),求得x=2a,所以.

作出輔助線,本身就是一個(gè)“創(chuàng)造”(因?yàn)樵瓉?lái)沒(méi)有),關(guān)鍵是在哪兒作,怎么作?上述過(guò)程對(duì)各種可能的情形都進(jìn)行了探索,有的成功有的失敗.探究的過(guò)程使學(xué)生獲得了經(jīng)驗(yàn)與方法,知道了怎么作是有效的.學(xué)生增長(zhǎng)了動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的能力和體驗(yàn),增強(qiáng)了思維能力.