幾何問題中的圖形結構和數學運算

湖北省武漢市華中科技大學同濟附中(430030) 王凱旋 嚴翠

我們知道數學核心素養(yǎng)包括:數學抽象,邏輯推理,數學建模,運算能力,直觀想象,數據分析.六個核心與初中平面幾何的圖形研究:形狀,位置,大小三要素的有機結合,可以提煉出:以“圖形結構(數學抽象,數學建模,直觀想象和圖形的形狀,位置的融合)—數學運算(邏輯推理,運算能力與幾何圖形大小的融合)”為思維模式的問題解決方法.具體方法為:首先,明確“已知結構”及包含的“已知運算”;其次,解決問題時,其路徑為把“已知結構”轉化為“目標結構”;“已知運算”轉化為“目標運算”,從而達到問題的解決.

例1(2018年山東濱州中考第19 題) 如圖1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E,F分別在BC,CD上,若求AF的長.

圖1

圖2

解在對試題條件和結論進行分析時,我們不應僅僅關注45?角,還應該關注45?角所在的幾何圖形形狀.更需要關注幾何圖形的整體結構.這里和試題比較相近的一個圖形結構就是:正方形ABCD中含有以點A為角頂點的45?角(如圖3,4).這是我們在正方形問題中研究比較多的一個幾何圖形結構,這個結構對應的數學運算有很多,其中一個基本運算:BP+DF=PF僅僅通過全等就可以得到.如果利用這個幾何圖形結構相對應的數學運算來解答此問題,應該算一種比較自然的解法,同時解答過程比較簡單.

如圖2,把矩形ABCD補成正方形AMND,延長AE交MN于點P,連接EP.得到基本結構:正方形AMND中含有以點A為頂點的45?角; 從而有基本運算:MP+DF=PF,在正方形AMND中易得:?ABE?AMP,則又∵AB=2,AM=4,BE=1,∴MP=2,則MP=2,設DF=x,由基本運算得:PF=MP+DF=x+ 2,NF=4?x,在Rt?PNF中,PN2+NF2=PF2即:22+(4?x)2=(x+2)2,解得:;在Rt?ADF中,,

圖3

圖4

圖5

如圖5,分別取AD,BC的中點M,N,連結MN交AF于點G,連結EG,易知四邊形ABNM是正方形,設MG=x,∴GN=2?x,∵BE=1,∴EN=BN?BE=1,在正方形ABNM中,∠EAF=45?,由半角模型可知:EG=MG+BE=x+1,在Rt?ENG中,(2?x)2+12=(x+1)2,解得,即∴∵MG//DC且M是AD中點,∴G是AF中點,∴.

例2如圖6,若點M,N分別在正方形ABCD的邊BC,DC的延長線上,且∠MAN=45?,請?zhí)角骃?AMN,S?ABM,S?ADN之間的等量關系,并證明;

(2)如圖7,在?ABC中,∠MAN=45?,且AD⊥BC于D,若BD=3,CD=10,求S?ABC.

圖6

圖7

解如圖8,在DC上截取DQ=BM,連接AQ,∵四邊形ABCD正方形,∴AB=AD,∠ABM=∠ADQ,∴?ABM?ADQ,∴S?ABM=S?ADQ,AM=AQ.

設∠BAM=∠DAQ=x,∠BAN=y,則x+y=45?,∴∠QAN=90??(∠BAN+∠DAQ)=90??(x+y)=45?,∴∠MAN=∠QAN,又∵AN=AN,

∵?AMN?AQN,∴SANM=S?ANQ,∴S?AMN+S?ABM=S?ADN.

圖8

圖9

分析從第一問到第二問,從完整結構到殘缺結構,第一問存在一個正方形的圖形結構,而第二問只有一個三角形的圖形結構,根據圖形結構—數學運算的思維模式,保持第一問的相同圖形結構和數學運算的方法,以AD為邊,構造一個正方形試一試.

解如圖9,以AD為邊,在AD的右側作正方形ADEF,在EF截取FQ=BD,連接AD,CQ,則AD=AF,∠ADB=∠AFQ,∴?ABD?AQF,則AQ=AB.

設∠BAD=∠FAQ=x,∠CAD=y,則x+y=45?,

∴∠QAC=90??(∠DAC+∠FAQ)=90??(x+y)=45?,

∴∠BAC=∠QAC,又∵AC=AC,∴?ABC?AQC,

∵BD=3,CD=10,∴QC=BC=13.

設CE=x,則EF=DE=10+x,FQ=BD=3,

∴QE=x+ 7,在Rt?CEQ中,CE2+EQ2=CQ2,

即:x2+(7+x)2=132,解得:x=5,∴AD=DE=15,.

平時的訓練時,就要注意總結幾何圖形的“圖形結構”及其對應的“數學運算”.這樣在解答問題時,才能抓住圖形結構及數學運算順利完成問題的解答.