Philon面及其性質(zhì)*

肖運(yùn)鴻

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

大約公元前150年，古希臘的數(shù)學(xué)家和力學(xué)家Philon為了解決三大著名幾何作圖問題之一的倍立方體問題，提出了后人稱之為“Philon線”的概念[1].若P為已知∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)，過P點(diǎn)任作一直線與∠AOB的兩邊相交，則兩交點(diǎn)所成線段中長(zhǎng)度最短者稱為∠AOB內(nèi)過點(diǎn)P的Philon線.歷史上，Philon有時(shí)又稱為Philo.因此，Philon線又可稱為Philo線.Philon線不僅具有重要的理論意義，而且在解決工程設(shè)計(jì)選線問題中具有廣泛的應(yīng)用[2].

Philon線的概念可以類比推廣到三維空間上，從而得到Philon面的概念.下面給出三面角的Philon面和圓錐面的Philon面的定義.

定義若P為已知三面角O-ABC(直圓錐面O-ABC)內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，過P點(diǎn)任作一個(gè)不過O點(diǎn)的平面與三面角O-ABC(直圓錐面O-ABC)相截，使得截痕為三角形(橢圓)，則所有三角形(橢圓)截線所圍區(qū)域中面積最小者稱為三面角O-ABC(直圓錐面O-ABC)內(nèi)過點(diǎn)P的Philon面，如圖1、圖2.

圖1 圖2

三面角的Philon面和圓錐面的Philon面具有一些共同性質(zhì).

定理1若ΔQRS所圍區(qū)域?yàn)槿娼荗-ABC內(nèi)過點(diǎn)P的Philon面，K為Philon面的重心.過點(diǎn)O作Philon面所在平面的垂線，垂足為H，則P,K,H三點(diǎn)共線且PK∶KH=1∶2.

證明以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x0,y0,z0).過點(diǎn)P任作一個(gè)不過原點(diǎn)的平面Σ，使之與三面角O-ABC的三邊相交.不妨設(shè)Σ的方程為

b1x+b2y+b3z=1

(1)

(其中b1，b2，b3不全為0，不妨設(shè)b3≠0),則

b1x0+b2y0+b3z0=1

(2)

設(shè)射線OA，OB，OC的方程分別為：

OA：x=l1t,y=l2t,z=l3t;OB：x=m1t,y=m2t,z=m3t;OC：x=n1t,y=n2t,z=n3t;

將OA，OB，OC的方程分別代入(1)，可求得OA，OB，OC與平面Σ的交點(diǎn)分別為Q′(x1,y1,z1)，R′(x2,y2,z2)，S′(x3,y3,z3).其中

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

由(7)·b1+(8)·b2+(9)·b3，再結(jié)合(2)，可求得

(10)

將(10)分別代入(7)(8)(9)，得

(11)

(12)

(13)

若ΔQRS所圍區(qū)域?yàn)槿娼荗-ABC內(nèi)過點(diǎn)P(x0,y0,z0)的Philon面，則當(dāng)平面QRS的方程表示為(1)時(shí)，(1)中的系數(shù)b1,b2,b3滿足(11)(12)(13)；且ΔQRS的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別由(3)(4)(5)確定.因此，Philon面的重心坐標(biāo)為

PK=

KH=

顯然KH=2PK.因此P,K,H三點(diǎn)共線且PK∶KH=1∶2.

推論已知O-ABC為直三面角(即OA，OB，OC兩兩相互垂直).若ΔQRS所圍區(qū)域?yàn)槿娼荗-ABC內(nèi)過點(diǎn)P的Philon面，K為Philon面的重心.過點(diǎn)O作Philon面所在平面的垂線，垂足為H，則點(diǎn)P、K、H分別為ΔQRS的外心、重心和垂心，此三點(diǎn)共線(即ΔQRS的歐拉線)且PK∶KH=1∶2.

定理2若橢圓L所圍區(qū)域?yàn)橹眻A錐面O-ABC內(nèi)過點(diǎn)P的Philon面，K為Philon面的重心.過點(diǎn)O作Philon面所在平面的垂線，垂足為H，則P,K,H三點(diǎn)共線且PK∶KH=1∶2.

證明以O(shè)為原點(diǎn)，以直圓錐面O-ABC的對(duì)稱軸為z，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x0,y0,z0)，直圓錐面O-ABC的方程為z2=k2(x2+y2)(k>0,z≥0).過點(diǎn)P任作一個(gè)不過原點(diǎn)的平面Σ，使之與圓錐面O-ABC的截痕為橢圓.與定理1的證明類似，可設(shè)Σ的方程為(1)，則(2)式成立.

(14)

記投影曲線(14)所圍區(qū)域?yàn)棣襵y(σxy同時(shí)表示該區(qū)域的面積).為求σxy，下面應(yīng)用不變量法求投影曲線(14)的標(biāo)準(zhǔn)方程[3].

因?yàn)?/p>

(15)

(16)

(17)

(18)

由(16)·b1+(17)·b2+(17)·b3，再結(jié)合(2)，可求得

(19)

將(19)分別代入(16)(17)(18)，得

(20)

(21)

(22)

顯然KH=2PK.因此P,K,H三點(diǎn)共線且PK∶KH=1∶2.