共線

量準(zhǔn)則[17]，共線位錯(cuò)反應(yīng)可導(dǎo)致位錯(cuò)湮滅，而非共線位錯(cuò)反應(yīng)可形成位錯(cuò)交結(jié)。其中，有基面參與的非共線作用形成可動(dòng)交結(jié)(即反應(yīng)后生成的位錯(cuò)片段在至少一個(gè)滑移面上可動(dòng))，而其他非共線作用則形成固著交結(jié)(即反應(yīng)后生成的位錯(cuò)片段在兩個(gè)滑移面上都不可動(dòng))。需要說明的是，這些判斷是僅考慮位錯(cuò)反應(yīng)的彈性能變化，而DD模擬得到的位錯(cuò)組態(tài)是進(jìn)一步考慮外力與晶格阻力的影響以及實(shí)際位錯(cuò)線方向的結(jié)果。此外，由于自相互作用、共面相互作用的行為及機(jī)理與非共面作用存在較大差異[7,18

用平面向量的三點(diǎn)共線定理進(jìn)行求解．在平面中A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)的O，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得且x+y=1．這就是平面向量的三點(diǎn)共線定理．該定理常用于判斷三點(diǎn)是否共線，證明幾個(gè)點(diǎn)是否在同一條直線上，求某個(gè)向量的表達(dá)式，求參數(shù)的值等．下面結(jié)合實(shí)例探討一下如何運(yùn)用平面向量三點(diǎn)共線定理解題．根據(jù)向量式的特點(diǎn)以及3x+10y=5聯(lián)想到要三點(diǎn)共線定理，于是在直線AB、AC上取兩點(diǎn)D、E，證明，即可根據(jù)三點(diǎn)共線定理證明O，D，E三點(diǎn)共線

的視角證明“三點(diǎn)共線”方法1利用平角的定義證三點(diǎn)共線例1如圖1,在?ABC中,延長(zhǎng)兩邊的中線BD，CE到點(diǎn)F，G,使DF=BD,EG=CE,求證:G，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線.分析要證明G，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線,可證明∠FAC+∠BAC+∠GAB=180°.由于BD=DF,AD=CD,連結(jié)CF,則四邊形ABCF為平行四邊形,AF∥BC,∠FAC=∠ACB.同理∠GAB=∠ABC.∴∠FAC+∠BAC+∠GAB=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°.說明用平角的定義是證明

[1]。干線道路共線是指兩條或兩條以上道路在一定長(zhǎng)度范圍內(nèi)共同敷設(shè)路線，橫斷面布置可為整體共享形式，也可為各自獨(dú)立形式。國內(nèi)外各大城市交通基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中均有干線道路共線情況。干線道路共線從類型上可分為城市道路和高速公路共線、高速公路和高速公路共線、城市道路和城市道路共線；從空間形態(tài)上可分為平面共線、立體共線；從設(shè)施形式上可分為地面道路、高架道路、地下道路的共線；從連接條件上可分為完全分離、控制連接、完全融合。完全分離指兩條共線道路之間完全不連接，控制連接指

123)證明三點(diǎn)共線是幾何問題中的熱點(diǎn)，很多競(jìng)賽題都涉及到三點(diǎn)共線的問題.不少學(xué)生對(duì)這類問題感到困惑和棘手,不知道從何處入手.本文以2022年福建省的一道競(jìng)賽題為例,從不同視角給出多種解法，為同學(xué)們?cè)诮窈笥龅酱祟悊栴}時(shí)提供一定的參考.試題(2022年福建省青少年數(shù)學(xué)水平測(cè)試題)如圖1,四邊形ABCD是平行四邊形,∠DAC=45°,以線段AC為直徑的圓與AB和AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E和F,過點(diǎn)B作AC的垂線,垂足為H.求證:E,H,F三點(diǎn)共線.視角1利用鄰角

：A,B,F三點(diǎn)共線.1 縱向探究解析幾何題目往往是某個(gè)一般規(guī)律的特例，這就要求我們不僅要會(huì)解題，更要求根溯源，揭示一般規(guī)律.上題中的圓F是以焦點(diǎn)F為圓心且與拋物線C相切的圓，經(jīng)過探究，得到下面的結(jié)論.圖12 橫向類比下面將性質(zhì)1推廣到橢圓上得到了更加優(yōu)美的性質(zhì).圖2三 進(jìn)一步的探究圖4(1)E1,E2的縱坐標(biāo)之積為-(a-c)2且△E1FE2為直角三角形；(2)E3,E4的縱坐標(biāo)之積為-(a+c)2且△E3FE4為直角三角形；(3)E1,F,E3共線，E

劉玉成共線向量也叫平行向量，相等向量是特殊的共線向量。共線向量定理：向量b（b≠0）與a共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得a=λb（b≠0）。題型1：判斷向量共線例1 如圖l，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形。題型3：用已知向量表示未知向量例3 趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）。類比“趙爽弦

■劉玉成共線向量也叫平行向量，相等向量是特殊的共線向量。共線向量定理:向量b（b≠0）與a共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb（b≠0）。題型1：判斷向量共線例1如圖1，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形。圖1題型3：用已知向量表示未知向量例3趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）。類比“趙爽

“B，D，E三點(diǎn)共線;C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線;A，F(xiàn)，D也三點(diǎn)共線”時(shí)，則△ABC分成了四個(gè)面積相等的三角形，即△ADB，△BEC，△CFA，△DEF.拖動(dòng)三點(diǎn)的位置，要達(dá)到十分完美融洽與平衡，才能出現(xiàn)令人驚奇的“B，D，E三點(diǎn)共線;C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線;A，F(xiàn)，D也三點(diǎn)共線”和諧共存現(xiàn)象，使S =S =S =S = S . 然而，點(diǎn)D，E，F(xiàn)的特征并不明顯，如何確定三點(diǎn)D，E，F(xiàn)仍然困難.探究特例找特征著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)指出：善于“退”，足夠地“退”，退

形;四心;向量;共線;建模探究背景平面向量既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，也是研究數(shù)學(xué)的工具，可實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)問題的互化，即可利用向量將幾何問題代數(shù)化，也可將代數(shù)問題幾何化. 向量與幾何有著緊密的聯(lián)系，可借助平面向量來研究三角形的“四心”，即重心、垂心、內(nèi)心和外心. 三角形的“四心”是從幾何視角進(jìn)行的定義，“四心”對(duì)應(yīng)了一定的幾何性質(zhì)，實(shí)際上可從向量視角探尋“四心”與向量的關(guān)系，探究過程需立足性質(zhì)定義，構(gòu)建知識(shí)關(guān)聯(lián).反思總結(jié)三角形“四心”的定義性質(zhì)較為簡(jiǎn)單，從向量

供參考。關(guān)鍵詞：共線;防錯(cuò)技術(shù);總裝車間0 引言故障保護(hù)技術(shù)的高效應(yīng)用對(duì)于高質(zhì)量、高效且經(jīng)濟(jì)的汽車制造商至關(guān)重要。汽車零部件的產(chǎn)品設(shè)計(jì)和重復(fù)制造通過僅在正確評(píng)估各種故障模型的風(fēng)險(xiǎn)和準(zhǔn)確調(diào)查客戶要求的基礎(chǔ)上，確定關(guān)鍵過程、步驟和故障預(yù)防措施的故障精度，提高了生產(chǎn)質(zhì)量和車輛質(zhì)量。1 防錯(cuò)的定義防錯(cuò)是一種通過消除潛在故障模式（零件故障、人為錯(cuò)誤、工藝故障、設(shè)備故障等）來減少生產(chǎn)過程中偏差的方法。通常，作為控制重復(fù)任務(wù)或行為的預(yù)防技術(shù)，被廣泛用于汽車行業(yè)，以提高產(chǎn)

■賀顯孟共線向量也叫平行向量。利用共線向量可以證明三點(diǎn)共線、求參數(shù)的值或參數(shù)的范圍、求點(diǎn)的坐標(biāo)、求向量的坐標(biāo)以及解決與三角函數(shù)有關(guān)的問題。下面舉例分析，供大家學(xué)習(xí)與參考。題型一：利用共線向量的概念判斷命題的真假例1 給出下列命題：①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量與向量共線，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量。以上命題中正確的個(gè)數(shù)為(

出了一個(gè)涉及三點(diǎn)共線的命題，本文探討的問題是：題設(shè)中的條件“點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上”是否必要.首先選取平面向量的角度重新證明數(shù)學(xué)問題2392，在證明的過程中揭示條件“點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上”是多余的.建立在這一判斷基礎(chǔ)之上，本文提出數(shù)學(xué)問題2392的修正命題.數(shù)學(xué)問題2392如圖1，若PAB、PCD分別是⊙O的兩條割線，交⊙O于點(diǎn)A、B、C、D，AD與BC相交于點(diǎn)Q.若點(diǎn)M、N分別滿足四邊形MAQC、四邊形NBQD都是平行四邊形.證明：P、M、N三點(diǎn)共

對(duì)圓錐曲線中三點(diǎn)共線問題的解題策略進(jìn)行了研究，讀后受益非淺，特別是其中的例2引起了筆者的思考與探究，現(xiàn)將筆者的心得體會(huì)與大家交流分享．圖1引例(文[1]例2)如圖1,已知曲線C:x2+2y2=8，設(shè)曲線C與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線y=kx+4與曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：A、G、N三點(diǎn)共線．問題題目中的結(jié)論是特定橢圓的特有性質(zhì)嗎？一般橢圓是否都有類似的性質(zhì)呢？圖2將①代入②知②成立,所以A、G、N三

8 可得：向量不共線，若點(diǎn)P 在直線AB 上，則且λ1+λ2=1。對(duì)于該例，可從以下多方面進(jìn)行拓展，與同仁們一起交流。圖1圖2圖3圖4如果將平面向量的這幾種情況類似地推廣到空間向量，會(huì)有什么結(jié)論呢？證明：因?yàn)辄c(diǎn)P 與不共線三點(diǎn)A，B，C在同一個(gè)平面內(nèi)，圖5【拓展9】空間任一點(diǎn)O 和不共線三點(diǎn)A，B，C，若點(diǎn)P 與點(diǎn)O 在

且P、G、Q三點(diǎn)共線.設(shè)OP=xOA，OQ=yOB，則1x+1y=這是平面向量里面非常經(jīng)典的一道題目，類似的題目也很多。有很多同學(xué)看到這類題目卻一頭霧水，無從下手，即使上課聽老師講了，課后自己去做還是東湊西拼，找不到思路。我們先來回顧一下兩個(gè)定理：一、平面向量共線定理向量a（a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.二、平面向量三點(diǎn)共線定理在平面中A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是：對(duì)于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)的O，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得：OP=x

需求，導(dǎo)致多車型共線生產(chǎn)已成必然。然而多產(chǎn)品共線生產(chǎn)，必然會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)漏裝的發(fā)生率升高，因此，如何防止汽車在生產(chǎn)制造過程中的錯(cuò)、漏裝問題尤為重要，防錯(cuò)技術(shù)的應(yīng)用越來越明顯。本文詳細(xì)介紹了防錯(cuò)的概念與目的，并從實(shí)際生產(chǎn)出發(fā)，分析了總裝防錯(cuò)的分類及防錯(cuò)方案。關(guān)鍵詞：共線;防錯(cuò)技術(shù);總裝車間1 前言科技在發(fā)展、時(shí)代在進(jìn)步，汽車行業(yè)已經(jīng)步入了大規(guī)模流水線生產(chǎn)模式，正在逐步向全面自動(dòng)化、現(xiàn)代化模式邁進(jìn)[1]。然而，面對(duì)客戶需求的多元化發(fā)展，各個(gè)汽車生產(chǎn)基地企業(yè)為了減少新

維類比你了解向量共線定理的意義和作用嗎？我們可以這樣理解向量共線定理：直線上存在無數(shù)個(gè)向量（共線向量），我們通過選定直線上一個(gè)非零向量α，而其他向量b均可用α唯一表示（即存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b=λα成立）.這樣，共線的所有向量的運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為向量α（基本向量）的運(yùn)算，就將直線上復(fù)雜的向量問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)一個(gè)向量的簡(jiǎn)單問題了.共線定理中僅需一個(gè)基本向量即可表示直線上的所有向量.從直線（一維）到平面（二維），類比猜測(cè)很有可能是兩個(gè)向量，借助物理知識(shí)（力的分解

板；E形螺栓孔；共線；滑套；沖子0.引言山東能源重型裝備制造集團(tuán)新汶分公司常年設(shè)計(jì)制造各類礦用設(shè)備，刮板機(jī)亦是其主要產(chǎn)品之一。在制造刮板機(jī)刮板的過程中，對(duì)刮板上的E形螺栓孔加工還是采用劃線、鉆孔的方式。劃線是以其中心沉孔為中心劃線后，再按中心距尺寸用劃規(guī)分別劃出兩端孔心所在的圓弧線，再以沉孔毛坯面為基準(zhǔn)劃出孔的左右中心基準(zhǔn)線，該線與圓弧線的交點(diǎn)便作為刮板兩端螺栓孔的中心點(diǎn)；然后按照刮板孔的中心線在搖臂鉆上預(yù)鉆φ10小孔作為后續(xù)鉆孔的定位導(dǎo)向孔（不要鉆透，以

討了白車身八車型共線時(shí)門蓋生產(chǎn)線的精益規(guī)劃布局。通過研究門總成工藝的一個(gè)壓機(jī)帶四個(gè)模具方案與一個(gè)壓機(jī)帶8個(gè)模具方案的優(yōu)劣，尋找到了一種精益的八車型門總成模塊化工藝布局?；陂T總成的八車型模塊化工藝，進(jìn)而通過研究門蓋集中生產(chǎn)布局與門蓋魚骨圖布局的優(yōu)劣，證明了魚骨布置是一種可取的方案。同時(shí)探討了門總成線體的車型柔性與產(chǎn)能柔性之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。最后，探討了四車型時(shí)，四門總成的一種精益工藝布局。關(guān)鍵詞：車型；產(chǎn)能；共線；柔性；精益；布局；魚骨中圖分類號(hào)：U466 文

∴M,D,E三點(diǎn)共線.又因?yàn)镈,E分別為CB，CA的中點(diǎn)，∴DE∴M為CN的中點(diǎn)，又∵A,N,B三點(diǎn)共線，C,M,N三點(diǎn)共線，推論1：e1和e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若存在實(shí)數(shù)λ1,λ2，使得λ1e1+λ2e2=0，則λ1=λ2=0．解法一：如圖，設(shè)D，E分別是AC，BC邊的中點(diǎn)，連接AD，以O(shè)A，OD為鄰邊作平行四邊形，∴C，O，E三點(diǎn)共線，∴OE=3OC，∴S△AOE=3S△AOC=S△DOE，∵BF∴S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△B

結(jié)論1：設(shè)向量不共線，點(diǎn)P在直線AB上，則，且λ+μ=1，λ，μ∈R。例 1設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則=( )。解：因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，選A。例 2如圖1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB=為( )。圖1解：因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以λ=1，解得λ=過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則因?yàn)椤螧AC=60°，所以四邊形ANDM是菱形，可得||=3，即得|

兩個(gè)向量平行(或共線)的問題，常常出現(xiàn)在高考真題中，其題目簡(jiǎn)單樸實(shí)，解題思路卻靈活多樣，求解過程妙趣橫生，能更好地考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問題的能力，本文列舉一道2016年的高考題介紹一題多解.題目(2016年高考新課標(biāo)Ⅱ卷文科數(shù)學(xué))已知向量a=(m,4),b=(3,-2)且a∥b，則m=________.這是一道以向量知識(shí)為背景的選擇題，雖然試題內(nèi)容樸實(shí)、形式平和，但解題方法靈活巧妙.如果我們略加思考，進(jìn)行追本溯源，那么此高考題的根源來于“普通高

(314300)共線向量定理推論在向量求值問題中的應(yīng)用李慧華 柯少華 張艷宗浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué) (314300)在人教版高中數(shù)學(xué)新教材第二冊(cè)(下B)中介紹了空間向量的共線定理:在近幾年的高考備考中,發(fā)現(xiàn)有不少的題目,如果能夠充分用好這個(gè)共線定理的推論,可以大大簡(jiǎn)化我們的解題過程，強(qiáng)化我們的數(shù)形結(jié)合能力.圖1圖2∵O是外心，D為AC的中點(diǎn),∴DE⊥AC.圖32004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中就曾出過和這個(gè)結(jié)論類似的一個(gè)題目，如果我們知道這個(gè)解法，那就可以很快

賢麗 王安寓秒殺共線向量求參的方法江蘇 范賢麗 王安寓最近正在復(fù)習(xí)《平面向量》，我在求解平面向量的題目過程中，發(fā)現(xiàn)了一種秒殺共線向量求參數(shù)值的方法．現(xiàn)整理成文，以饗讀者．一、秒殺解法的發(fā)現(xiàn)【例1】已知向量a＝（1，0），b＝（2，1），若（ka－b）∥（a＋2b），則實(shí)數(shù)k＝________．【分析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)公式，涉及簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算和解簡(jiǎn)單的方程．只須按條件代入坐標(biāo)，計(jì)算即可．上述求解過程中規(guī)中矩，沒有一點(diǎn)可挑剔的．然而我

最少”“共面”“共線”。把握規(guī)律：?jiǎn)捂I是可旋轉(zhuǎn)的，是造成有機(jī)物原子不在同一平面上最主要的原因。（1）結(jié)構(gòu)中每出現(xiàn)一個(gè)飽和碳原子，則整個(gè)分子不再共面。（2）結(jié)構(gòu)中每出現(xiàn)一個(gè)碳碳雙鍵，至少有6個(gè)原子共面。（3）結(jié)構(gòu)中每出現(xiàn)一個(gè)碳碳三鍵，至少有4個(gè)原子共線。（4）結(jié)構(gòu)中每出現(xiàn)一個(gè)苯環(huán)，至少有12個(gè)原子共面。（5）正四面體結(jié)構(gòu)：甲烷（分子中2個(gè)氫原子與碳原子處于同一平面）（7）碳碳單鍵可任意旋轉(zhuǎn)，而雙鍵或三鍵均不能旋轉(zhuǎn)。二、“三位一體”突破有機(jī)反應(yīng)類型”（1）由乙

鍵詞】高速公路；共線；方案比較；通行能力引言隨著我國高速公路建設(shè)的快速發(fā)展，全國高速路網(wǎng)日益密集，高速路網(wǎng)間經(jīng)常存在T字三路交叉、十字四路交叉，甚至在經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)路網(wǎng)密集路段出現(xiàn)三條高速六路交叉。做好高速路網(wǎng)間安全順捷的銜接，設(shè)計(jì)過程中需從交通需求、轉(zhuǎn)換功能、工程造價(jià)、社會(huì)因素等方面進(jìn)行全方位分析。本文以廣東省江門至羅定高速（簡(jiǎn)稱江羅高速）為例，對(duì)其起點(diǎn)路網(wǎng)銜接進(jìn)行了分析論證。為完成項(xiàng)目江門至羅定的交通轉(zhuǎn)換，結(jié)合路網(wǎng)分布，從江羅高速與佛開高速交叉后銜接江鶴

詞：向量；加法；共線；內(nèi)積G633.6縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，矛盾推動(dòng)數(shù)的發(fā)展。在公元前580年，古希臘數(shù)學(xué)中有名的學(xué)派：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 提出了：“萬物皆數(shù)”的信條。并且畢達(dá)哥拉斯把這一信條作為該學(xué)派的理論基礎(chǔ)。但是，在公元前500年，畢達(dá)哥拉斯的弟子希帕蘇斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的邊與對(duì)角線的長(zhǎng)度是不可公度量的。這一發(fā)現(xiàn)就與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的哲理大相徑庭。正方形的邊與對(duì)角線是不可公度量的本質(zhì)是什么？在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)歷史上，數(shù)學(xué)家們眾說紛紜。人們

)A,P,D三點(diǎn)共線；(2)延長(zhǎng)PF2交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)直線APD與橢圓的右準(zhǔn)線l交于點(diǎn)R,則Q,B,R三點(diǎn)共線.由焦半徑公式，m+n=2a,m-n=2ex0，得在證明過程中得xE=a,說明圓E與x軸切于橢圓頂點(diǎn)，這是我們非常熟悉的結(jié)論.對(duì)性質(zhì)1(1)逆向探究易得：證明留給讀者.在圖1中，通過幾何畫板作圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)準(zhǔn)線上的點(diǎn)R移動(dòng)時(shí)，若R、P、A三點(diǎn)不共線，則R、Q、B三點(diǎn)也不共線，但仍有如下性質(zhì)：圖2(1)A,D,P三點(diǎn)共線；(2)延長(zhǎng)PF2交雙曲線于點(diǎn)

2500)?三點(diǎn)共線定理的推論及妙用陳玉蘭吳志鵬(福建省德化第一中學(xué)，362500)證明t=0時(shí)，結(jié)論顯然成立.t≠0時(shí)，證明過程如下：因?yàn)镃,A,B三點(diǎn)共線,所以即m+n=t.連結(jié)OP交直線AB于點(diǎn)C,則由三點(diǎn)共線定理可知綜上，得證.該結(jié)論作為三點(diǎn)共線定理的推廣，可妙解諸多與向量相關(guān)的問題.現(xiàn)在舉例如下：一、妙解系數(shù)和問題例1如圖1，已知四邊形ABCD中,AB∥CD，AB=2CD,M,N分別是CD,BC的中點(diǎn),若解延長(zhǎng)AB交MN的延長(zhǎng)線于E點(diǎn),此時(shí)M,N

道路、高等級(jí)公路共線技術(shù)研究王永東(中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，西安710043)摘要:為了構(gòu)建綜合交通廊帶，使軌道交通與城市道路或高等級(jí)公路在一致的平縱線形條件下組成整體式橫斷面，以節(jié)約用地，美化景觀。根據(jù)現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范對(duì)軌道交通與城市道路或高等級(jí)公路共線技術(shù)的可行性進(jìn)行分析探討，通過對(duì)相關(guān)規(guī)范中幾何設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)的對(duì)比，分析各種可能的共線模式，比選出能同時(shí)適應(yīng)軌道交通與城市道路或高等級(jí)公路的“路－軌綜合技術(shù)指標(biāo)值”和“路－軌大斷面”橫斷面組合形式，指

第三中學(xué))?3點(diǎn)共線問題探究◇ 吉林 高洪菊1 問題背景本文從逆命題的運(yùn)用加以剖析,希望讀者對(duì)“3點(diǎn)共線”有更深層次的理解.2 常見類型已知3點(diǎn)共線求值或取值范圍;構(gòu)造3點(diǎn)共線求值或取值范圍.3 典例解析分析 該問題是數(shù)列和共線問題的綜合,可直接利用3點(diǎn)共線求系數(shù)之和.圖1分析 在點(diǎn)C變動(dòng)的過程中,點(diǎn)D始終在直線AB上移動(dòng),即點(diǎn)A、B、D始終在同一直線上,從而找到解題的突破口.分析 利用向量之間的等量關(guān)系,配湊系數(shù)和為1的向量關(guān)系,找到3點(diǎn)共線來求比例.圖

袁效德向量共線定理是解決共線問題的主要方法來源，涉及具體問題，還需要我們能靈活運(yùn)用它去解決。讓我們看看下面的幾個(gè)例子。一、直接運(yùn)用向量共線定理向量共線定理即對(duì)于兩個(gè)向量a（a≠0），b，a∥b→有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa。我們?cè)谶\(yùn)用向量共線定理解決問題時(shí)，要抓住向量問題的本質(zhì)，找出兩個(gè)向量之間的線性關(guān)系。我們可以運(yùn)用待定系數(shù)法設(shè)出未知數(shù)λ，再運(yùn)算求解可得。二、運(yùn)用坐標(biāo)法證明共線問題時(shí)，如果已知條件以坐標(biāo)形式出現(xiàn)，我們還可以運(yùn)用坐標(biāo)法來解決問題。即對(duì)于兩

何曉勤向量共線定理和平面向量基本定理作為平面向量中的兩大重要定理，在解題中有著廣泛的應(yīng)用，那它們?cè)趦?nèi)容和表達(dá)形式上有著怎樣的區(qū)別與聯(lián)系呢？聊一聊兩個(gè)定理的理解老師：向量共線定理的內(nèi)容是什么？小明：對(duì)于向量a（a≠0）和b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa（a≠0），那么b與a（a≠0）是共線向量；反之，b與a（a≠0）是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa。老師：該定理有何作用？小強(qiáng)：該定理的前半部分給出了判斷兩個(gè)向量共線的方法，而后半部分揭示了兩個(gè)共

平面向量中的三點(diǎn)共線結(jié)論：若x，y滿足x+y=1，則得出A、B、P三點(diǎn)共線，反之也成立.解決平面向量的三點(diǎn)共線問題時(shí)，可以結(jié)合線性規(guī)劃，將兩者的內(nèi)容融合起來合成一個(gè)有一定思維量的中檔題型，有利于考查學(xué)生的思維能力和融會(huì)貫通能力.關(guān)鍵詞： 向量 現(xiàn)行規(guī)劃 共線 最值 取值范圍一、對(duì)一道向量問題的改編數(shù)學(xué)就是要研究一些問題，可以是別人探究過的，也可以是自己探究的，但總要有所發(fā)現(xiàn).最近看《中學(xué)數(shù)學(xué)》，其中有這樣一道題：其解法如上，再加圖3，利用線性規(guī)劃的方法，不

B，C是平面上不共線的i個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）。A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解：先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平面向量共線的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解。如圖1所示，表示與同向的單位向量，設(shè)為示與同向的單位向量，設(shè)為。由向量的平行四邊形法則，知因?yàn)?，所以，則共線。由于平分角，可知點(diǎn)P的軌跡一定通過三角形ABC的內(nèi)心，選B。變式l：已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）。A

便.下面給出三點(diǎn)共線和四點(diǎn)共圓的復(fù)數(shù)表示，直觀地說明托勒密定理.1.三點(diǎn)共線問題給定復(fù)平面上互不相同的三點(diǎn)z1，z2，z3，試確定它們共線的充分必要條件.解顯然互不相同的三點(diǎn)z1，z2，z3共線的充分必要條件是向量z1z3和z2z3同向或者反向共線，所以它們的幅角相差π的整數(shù)倍.即這樣就得到了托勒密定理.托勒密定理是平面幾何中基本的定理，從它出發(fā)可以推出正、余弦的和差公式及一系列三角恒等式……順便指出，復(fù)平面上圓的一般方程可以表示為azz-+bz-+b-z

標(biāo)表示的平面向量共線的條件.平面向量的基本定理研究的是平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量的線性組合表示，常與線性運(yùn)算一起考查；向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線問題也是高考考查的熱點(diǎn).endprint（1）了解平面向量的基本定理及其意義.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算.（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.平面向量的基本定理研究的是平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量的線性組合表示，常與線性運(yùn)算一起考查；向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線

程中，a，b，c共線了____次．原解析：由得對(duì)第2空有兩種解析.(1)當(dāng)b轉(zhuǎn)動(dòng)1個(gè)周期，a轉(zhuǎn)動(dòng)8個(gè)周期，在第1個(gè)周期內(nèi)，三者共線1次，最后一個(gè)周期共線1次，其他每個(gè)周期共線2次，共計(jì)14次.(2)在b運(yùn)動(dòng)1周的過程中，a運(yùn)動(dòng)8周，由于共線不單指在同一側(cè)還有異側(cè)，所以在b轉(zhuǎn)動(dòng)1周的過程中a,b,c共線了14次.答案：Ta∶Tb=1∶8;14次.筆者發(fā)現(xiàn)第2種解析的講解比較含糊.筆者也翻閱了很多資料，如文獻(xiàn)[1]用圖解法研究，方法很好，但很繁瑣，學(xué)生不好理解

位置開始到第一次共線，a，b運(yùn)動(dòng)過的圓心角的差值并不等于π.思考再三，原來教師總是向?qū)W生強(qiáng)調(diào)重視過程的分析，但學(xué)生對(duì)題目中a，b物體運(yùn)動(dòng)過程中的關(guān)系并沒有弄清，上述兩種解法中同樣沒有過程的分析.為什么不考慮初始位置間的夾角，的確存在思維上的漏洞．于是筆者在課堂上引導(dǎo)學(xué)生分析，找到了兩種更好的、更常規(guī)的解法，現(xiàn)在與大家分享．題目：如圖1所示，3個(gè)質(zhì)點(diǎn)a，b，c質(zhì)量分別為m1，m2，M(M?m1，M?m2)．在質(zhì)點(diǎn)c的萬有引力作用下，a，b在同一平面內(nèi)繞c沿逆

程中,a、b、c共線了________次.各種資料上都給出了本題的答案及解析,原解析如下:第2空的解析(1)是:當(dāng)b轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)周期,a轉(zhuǎn)動(dòng)8個(gè)周期,在第1個(gè)周期內(nèi),三者共線1次,最后一個(gè)周期共線1次,其他每個(gè)周期共線2次,共計(jì) 14次.解析(2)是:在 b運(yùn)動(dòng)1周的過程中,a運(yùn)動(dòng)8周,由于共線不單指在同一側(cè)還有異側(cè),所以在b轉(zhuǎn)動(dòng)1周的過程中 a、b、c共線了 14次.答案:Ta∶Tb=1∶8,14 次.筆者發(fā)現(xiàn)解析(1)有不當(dāng)之處,解析(2)的講解比較含糊,

介紹了空間向量的共線定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b摺0)，則a哂隻吖蠶叩某湟條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得a=λ b.由上述定理易證它的一個(gè)推論：設(shè)㎡A擼㎡B呤瞧矯婺誆還蠶叩牧礁魷蛄浚則點(diǎn)A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得㎡P=x ㎡A+y ㎡B (x+y=1).這個(gè)推論的應(yīng)用主要集中在兩類題型中：一是直接用于證明三點(diǎn)共線問題，二是求比值問題.如果我們能夠用好這個(gè)推論，則可以在這兩類題中省去很多添輔助線和證明過程.例1 在平行四邊