由“重心”引發(fā)的思考談起

陜西 呂二動(dòng)

我們?cè)跀?shù)學(xué)必修四所學(xué)的平面向量中有這樣一道試題：

以GB，GC為鄰邊作平行四邊形GBEC，GE交BC于點(diǎn)D，

∴G為△ABC的重心．

一、命題研究

解法一：取CB，CA的中點(diǎn)D，E.

∴M,D,E三點(diǎn)共線.

又因?yàn)镈,E分別為CB，CA的中點(diǎn)，

∴DE

∴M為CN的中點(diǎn)，

又∵A,N,B三點(diǎn)共線，C,M,N三點(diǎn)共線，

推論1：e1和e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若存在實(shí)數(shù)λ1,λ2，使得λ1e1+λ2e2=0，則λ1=λ2=0．

解法一：如圖，設(shè)D，E分別是AC，BC邊的中點(diǎn)，

連接AD，以O(shè)A，OD為鄰邊作平行四邊形，

∴C，O，E三點(diǎn)共線，∴OE=3OC，

∴S△AOE=3S△AOC=S△DOE，

∵BF

∴S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△BOC=3S△AOC，

∴S△ABC=3S△AOC，

二、命題推廣

可將變式2進(jìn)行推廣：

下面來(lái)看此公式的逆用：

證明：如圖，延長(zhǎng)AO交BC于D，

由α+β+γ=1，故上式可變?yōu)?/p>

我們可以將問(wèn)題推廣至三維空間：

推廣3：點(diǎn)P是四面體A-BCD內(nèi)部一點(diǎn)，若VA-BCD=V，

VP-BCD=VA,VP-CDA=VB,VP-ABD=VC,VP-ABC=VD,

在證明之前，我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的引理：

當(dāng)然，還可以推導(dǎo)點(diǎn)P在△ABC及四面體A-BCD外部的不同位置時(shí)的類似關(guān)系式，這一點(diǎn)留給有興趣的讀者探討.