“原創(chuàng)”顯身手 “研發(fā)”呈佳品

山東 尹承利

由《教學(xué)考試》雜志社主辦的原創(chuàng)研發(fā)項目，通過原創(chuàng)團隊教師的通力合作，呈現(xiàn)在大家面前的是一套可謂上乘的原創(chuàng)試卷.我作為親身經(jīng)歷者，與“原創(chuàng)”“研發(fā)”一同成長，感同身受！故將參與此次活動的體會和感想付諸文字以饗各位同仁.

一、活動安排組織井然

此次原創(chuàng)活動《教學(xué)考試》雜志社精心安排、組織，一環(huán)扣一環(huán)，從原創(chuàng)團隊活動安排的流程圖便可窺見一斑，而且在每一個時間節(jié)點都公布各團隊的進度，并指導(dǎo)下一步的工作.首先兩位命題老師初擬原創(chuàng)卷考點細目表，敲定后又不辭辛勞地命制試題，并通過在線試題優(yōu)化、在線試題解讀等教研活動，團隊老師們對整套試卷的考點設(shè)置和分布，乃至每道題的設(shè)問方式都暢所欲言、反復(fù)推敲，最終呈現(xiàn)出一套成功、漂亮、經(jīng)得起檢驗的精品試卷.

二、突出原創(chuàng)把握動向

“原創(chuàng)”是此次活動的主旋律，兩位命題老師不落窠臼，在“原創(chuàng)”方面下了很大的功夫，保證了整套試卷的原創(chuàng)性.與此同時，突出“原創(chuàng)”又緊緊把握高考命題動向和趨勢，整套試卷至少體現(xiàn)出了以下特點：

1.強化重點、熱點

原創(chuàng)卷強化了對重點內(nèi)容的考查，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列、空間向量與立體幾何、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等傳統(tǒng)意義上主干知識在客觀題和解答題中都進行了考查，構(gòu)成試卷的主體內(nèi)容.特別值得肯定的是，“數(shù)學(xué)文化”作為高考考查的熱點，在原創(chuàng)卷中得到了有益的嘗試和探索，體現(xiàn)了高考“增加數(shù)學(xué)文化”的要求.

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A.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱

B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

C.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增

D.f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減

【點評】函數(shù)的概念和性質(zhì)是貫穿高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的有力工具，本題為此作了積極的考查.奇偶性判斷可用奇偶性規(guī)律；單調(diào)性判斷可以用導(dǎo)數(shù)來分析.

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【點評】雙曲線和拋物線是歷年高考在客觀題中考查的重點和熱點.本題考查了雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

示例3.(原創(chuàng)卷文9)如圖，正三角形ABC內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正三角形的中心成中心對稱.在正三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是

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【點評】數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個有機組成部分，有著非常豐富的內(nèi)涵和外延.在數(shù)學(xué)高考中對于數(shù)學(xué)文化的考查，旨在發(fā)揮高考“指揮棒”的作用，通過考題讓學(xué)生感受中國的傳統(tǒng)文化之美并予以傳承.本題改編于2017年高考全國一卷文4、理2題，主要考查數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化及幾何概型.在我國傳統(tǒng)文化中有很多體現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”的圖形.如本題所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.

2.考查基礎(chǔ)不放松

原創(chuàng)卷加強對基礎(chǔ)知識、基本方法的考查，試題從考生熟悉的基礎(chǔ)知識入手，無論是必修內(nèi)容，還是選修內(nèi)容，許多試題大都屬于常規(guī)題.集合、復(fù)數(shù)、常用邏輯、線性規(guī)劃、向量、算法程序框圖、排列組合等內(nèi)容在選擇、填空題中得到了有效的考查.尤為指出的是，部分題目“源于教材，高于教材”，做足了教材文章.如原創(chuàng)卷理6就是源于人教A版選修2-3第75頁習(xí)題2.4 A組第2題變形的一道考題，原創(chuàng)卷理13就是源于人教A版選修2-1第25頁例4.(1)變形的一道考題，原創(chuàng)卷文、理7就是源于人教A版必修5第91頁練習(xí)1.(2)變形的一道典型考題，這對正確地引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)都起到良好的促進作用.因此，在復(fù)習(xí)備考中，要再次回到課本，把課本上的有關(guān)內(nèi)容弄懂，對課本中的典型例、習(xí)題做到心中有數(shù)，對課本中的典型證明做到熟練掌握.對課本典型例、習(xí)題通過仿造變式、反向變式，保留條件、引申結(jié)論，變更條件、推出新的結(jié)論等途徑，從不同的角度進行研究，從而落實基礎(chǔ)，總結(jié)解題規(guī)律.

【點評】本題改編于人教A版必修四第55頁練習(xí) 1.(1)，考查三角恒等變換和三角函數(shù)圖象的平移變換.在三角函數(shù)的圖象變換中，無論是“先平移后伸縮”，還是“先伸縮后平移”，均需記清每次變換是對x而言.根植于課本是高考命題的原則和方向，值得同學(xué)們復(fù)習(xí)備考時特別關(guān)注.

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A.x=1 B.y=-x+1

C.y=x+1 D.y=1

【點評】本題改編于人教A版必修二第127頁的例2，考查了點到直線的距離公式、垂徑定理的應(yīng)用和直線與圓的位置關(guān)系.

3.知識覆蓋合理

原創(chuàng)卷一個最為顯著的特點是不回避冷點，知識覆蓋面全面、合理.對一些“冷點”知識的考查在原創(chuàng)卷中初露端倪.比如，原創(chuàng)卷理6考查的是正態(tài)分布、理8考查的是線性回歸分析，原創(chuàng)卷文15考查的是推理、文18(2)考查了點到平面的距離的求法、文19考查了獨立性檢驗等.由此啟示我們，在復(fù)習(xí)備考的過程中，要全面復(fù)習(xí)，不放棄、不冷落任何一個知識點.

示例6.(原創(chuàng)卷文15)三位地質(zhì)學(xué)家到沙漠進行考察，每人身上最多可以攜帶供一人在沙漠生存16天所需的食物和水，計劃每天向沙漠深處走20公里，每人可以將部分食物和水交給其他人然后獨自返回，若要保證三人能安全返回，則此次考察最遠可以深入沙漠________公里.

【解析】不妨設(shè)甲最先返回，丙最后返回；如果人員安全返回后，剩下人員盡可能滿載則可最遠.由此可知行走4天后，甲留4天的食物和水，將剩下的8天食物和水平分給乙和丙，這樣甲可以安全返回，且乙和丙仍各保持16天的食物和水的滿負荷狀態(tài)；再行走4天后，乙留8天的食物和水，將剩下的4天的食物和水給丙，這樣乙可以安全返回，且丙保持16天的食物和水的滿負荷狀態(tài)；然后丙可以行走4天后再安全返回，這樣丙共行走12天，最遠可以深入沙漠240公里.

【點評】本題考查邏輯推理能力.以邏輯推理問題命制高考題，既能創(chuàng)造寬松又競爭的環(huán)境，拉近考生與數(shù)學(xué)的心理距離，又能考查學(xué)生的閱讀理解能力和邏輯推理能力.乍看這類問題，高中所學(xué)的知識好像在此全無用武之地，練就百遍的解題技巧似乎也在此擱淺，然而數(shù)學(xué)思維能力，卻在此大放光彩.

示例7.(原創(chuàng)卷理8)據(jù)統(tǒng)計表明，某城市每月的霧霾天數(shù)與該城市每月里的汽車出行量呈線性相關(guān)關(guān)系，已知該城市10-12月份的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：

月份101112月汽車出行輛x(萬輛)537霧霾天數(shù)y15822

要使下一年元月份的霧霾天數(shù)不超過11.5天，那么該月里汽車的出行量應(yīng)控制在( )萬輛以內(nèi).

A.4 B.5

C.6 D.7

【點評】本題考查了回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用、回歸直線的意義和求法、數(shù)據(jù)處理的基本方法和能力.考查運用統(tǒng)計知識解決簡單實際應(yīng)用問題的能力.

4.能力立意突出

原創(chuàng)卷命題突出能力立意，注重考查知識間的內(nèi)在聯(lián)系，在知識點的交匯處設(shè)計試題，重視對考生的創(chuàng)新意識的考查，注重對未來繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力考查.新情景創(chuàng)新題(比如，原創(chuàng)卷文11、19，原創(chuàng)卷理5、11、17等)、知識交匯題(比如，原創(chuàng)卷文13、文理12、文理16、文理21、22等)比比皆是.

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A.1個 B.2個

C.3個 D.4個

【點評】本題考查函數(shù)奇偶性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)與方程等知識，難度較大，得出f(a)=a是解答本題的關(guān)鍵，再由函數(shù)是奇函數(shù)，進而確定最終的答案.

示例9.(原創(chuàng)卷文理16)已知a=(2,0)，b=(1,1)，c=λa+(1-λ)b,λ為非負實數(shù)，則向量a,c夾角為θ，則θ取值的范圍為________.

【解析】由題意可知，

c=λa+(1-λ)b=(1+λ,1-λ)，a·c=2(1+λ)，λ≥0，

因為λ≥0所以t∈(0,1]，

【點評】本題考查向量的坐標(biāo)運算、向量的數(shù)量積、兩向量的夾角、基本不等式以及二次函數(shù)等.

三、擴大成果綿綿悠長

第一階段的試題“原創(chuàng)研發(fā)”雖然告一段落了，但活動留給我們的精神似清風(fēng)和雨、綿綿悠長.試卷可謂題題經(jīng)典、漂亮，內(nèi)涵豐富，莫讓原創(chuàng)試題“塵封”，進一步充分挖掘原創(chuàng)試題所潛在的教育功能、應(yīng)用功能和拓展功能，擴大“原創(chuàng)研發(fā)”的成果，是此次原創(chuàng)研發(fā)活動的主旨，也是我們接下來需要而且是很有必要做的有意義的事情.下面通過“擴大”兩道原創(chuàng)、研發(fā)題(文、理各一道)的“成果”，藉以拋磚引玉.

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C.4 D.2

示例11.(原創(chuàng)卷文13)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，有A,C,B成等差數(shù)列，且acosB+bcosA=2,則△ABC面積的最大值為________．

【解析】由A,C,B成等差數(shù)列，得2C=A+B，

由射影定理可得c=2.

所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC

得a2+b2-ab=4,由a2+b2≥2ab

1.規(guī)律分析

這兩道試題不謀而合，運用三角形中的“射影定理”解答方便簡捷.無獨有偶，在2017高考中，全國Ⅱ卷文和山東卷對“射影定理”的應(yīng)用都作了考查.“射影定理”雖然是一個較小的知識點，但最近幾年高考幾乎每年都考查到，且?？闯Ｐ?不以“點小”而“不為”，重視“射影定理”，應(yīng)用它解題，尤其是解答客觀題會收到意想不到的效果.兩道原創(chuàng)研發(fā)題和高考題都起到了很好的導(dǎo)向作用.

射影定理：設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，則a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA.

【證明】已知余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，①

b2=c2+a2-2cacosB，②

c2=a2+b2-2abcosC.③

①②兩式相加，得2c2-2bccosA-2cacosB=0，

即c=acosB+bcosA.

同理可證a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA.

2.變式應(yīng)用

示例10是求值問題，示例11是求最值問題，結(jié)合歷年高考題再進一步說明“射影定理”在其他方面的應(yīng)用.

2.1.求角

變式1.(2017·全國卷Ⅱ·文16)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=________.

2.2.判斷三角形的形狀

變式2.(2013·陜西卷·理7)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為

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A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不確定

【解析】由射影定理a=bcosC+ccosB，得a=asinA，所以sinA=1，即A=90°，所以△ABC是直角三角形.故選B.

2.3.結(jié)論判斷

變式3.(2017·山東卷·理9)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，則下列等式成立的是

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A.a=2bB.b=2a

C.A=2BD.B=2A

【解析】因為sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，

所以由正弦定理得b(1+2cosC)=2acosC+ccosA，

即b+2bcosC=acosC+(acosC+ccosA).

所以由射影定理b=acosC+ccosA，

得b+2bcosC=acosC+b.

因為cosC≠0，所以a=2b.故選A.

總之，原創(chuàng)卷具有較高的信度、效度和有效的區(qū)分度，達到了“考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能”的考試目標(biāo)，對我們備戰(zhàn)2018年高考有很好的啟迪和指導(dǎo)意義.