解法中蘊(yùn)思想 思想中生方法

云南 馬孟華

高三數(shù)學(xué)應(yīng)如何復(fù)習(xí)備考，才能有效地提升備考效率，提升學(xué)生的思維水平，一直以來(lái)都是一線教師研究和實(shí)踐的重要課題.本文結(jié)合自身的課堂教學(xué)實(shí)踐，從數(shù)學(xué)課堂上常見的“一題多解”模式入手，拋開單純的解題過(guò)程，從對(duì)高考試題由淺入深、多維度視角的剖析中體現(xiàn)出試題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，站在體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的高度領(lǐng)略和感悟試題.從多種解法中提煉數(shù)學(xué)思想方法，再?gòu)臄?shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)中優(yōu)化解題思路，兩者相輔相成，共同提升備考效率和思維水平.

在高考復(fù)習(xí)備考中，如果老師能適當(dāng)?shù)?、有意識(shí)地選擇設(shè)計(jì)一些學(xué)生力所能及的典型問(wèn)題進(jìn)行一題多解，不僅會(huì)使學(xué)生提升對(duì)知識(shí)系統(tǒng)的橫向聯(lián)系和深刻理解，也可以開拓智力、培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力、優(yōu)化解題思路，最終在不同的解法思路下帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略和掌握數(shù)學(xué)思想方法這個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)武器，最終達(dá)到通過(guò)解決一個(gè)問(wèn)題來(lái)領(lǐng)悟多種數(shù)學(xué)思想方法，從而提升高考復(fù)習(xí)備考的效率，讓學(xué)生真正從思想武器的角度解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

本文從2017年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅲ理科12題的多維度分析入手，闡述了不同解法下蘊(yùn)含的不同數(shù)學(xué)思想方法，并從中總結(jié)出解決高中階段最值、范圍問(wèn)題的常用、有效的方法.

下面我們來(lái)看看2017年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅲ理科12題.

( )

分析本題以向量知識(shí)為背景，考查最值問(wèn)題，涉及代數(shù)、三角、解析幾何等內(nèi)容，涉及知識(shí)面較廣.縱觀高考數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的求解方法主要以雙變?cè)ā⑷菗Q元法、數(shù)形結(jié)合法以及不等式放縮法為主，故可結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)際，通過(guò)多方位、多層次的思考對(duì)本題采用一題多解的教學(xué)模式，在展示解題思路和方法的過(guò)程中帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握求解最值問(wèn)題的多種手段，提升復(fù)習(xí)備考效率.

解如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD方向?yàn)閤軸正方向，AB方向?yàn)閥軸正方向建立xAy坐標(biāo)系，

故可得到以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：

A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0).

圓C與BD相切，則點(diǎn)C到BD的距離即為圓C的半徑r，由等面積法：

處理向量與圓綜合的問(wèn)題，一般情況下會(huì)利用幾何和代數(shù)方法求解，結(jié)合題意，本題中的矩形條件就是題眼，自然想到了建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法求解.順利建立坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題.

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，

結(jié)合要求λ+μ的最大值，

策略1雙變?cè)?函數(shù)思想)

雙變?cè)ǖ暮诵脑谟趯蓚€(gè)變量控制的函數(shù)經(jīng)過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，其前提條件是需知曉兩個(gè)變量之間的等式關(guān)系，最終將二元函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題.

此時(shí)，z是變量x的一元函數(shù)，而求該函數(shù)的最大值也需采用換元法，

故此時(shí)可得λ+μ的最大值為3.

由于θ∈[0,π]，φ為銳角，故z=-sin(θ-φ)+2<3,

綜上,λ+μ的最大值為3.

評(píng)注此法應(yīng)用了函數(shù)與方程思想，將雙變?cè)瘮?shù)通過(guò)消元法轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值，最后利用換元法求解一元函數(shù)最值，過(guò)程還需要分類討論，是比較復(fù)雜的一種解題方式.由于其復(fù)雜性和難操作性易被教師和學(xué)生所忽視.但筆者認(rèn)為函數(shù)思想其實(shí)是求解此類問(wèn)題中的一種通法，應(yīng)該引起教師和學(xué)生的重視.一直以來(lái)，高考對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查注重從學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，有明確的考查目的，加強(qiáng)針對(duì)性，注重通性通法，淡化特殊技巧，力圖有效地檢測(cè)考試對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.此法既強(qiáng)調(diào)了解決最值問(wèn)題的一般處理模式，同時(shí)又在無(wú)形中拓寬和提升了學(xué)生解決一元函數(shù)最值問(wèn)題的能力，對(duì)于高三課堂復(fù)習(xí)教學(xué)來(lái)說(shuō)，既強(qiáng)調(diào)了對(duì)通式通法的掌握，又拓寬了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路和方向，有效地提升了復(fù)習(xí)備考效率和學(xué)生的思維水平，讓學(xué)生能夠帶著數(shù)學(xué)思想和方法舉一反三，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

策略2判別式法(方程思想)

策略3三角換元法/參數(shù)方程法(轉(zhuǎn)化和化歸思想)

則(*)式轉(zhuǎn)化為

故此時(shí)可得λ+μ的最大值為3.

評(píng)注此法實(shí)則采用了化歸和轉(zhuǎn)化的思想，通過(guò)將條件轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式，使問(wèn)題柳暗花明，相較于函數(shù)思想，此法優(yōu)勢(shì)明顯.化歸和轉(zhuǎn)化的思想是高考中必考的數(shù)學(xué)思想方法，其核心是將未知解法或難以解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，化歸為在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題.該解法中，巧妙地將圓方程改寫為參數(shù)方程，將結(jié)果表達(dá)成了學(xué)生熟知的三角函數(shù)形式，故最值問(wèn)題迎刃而解.

下面再來(lái)看看在轉(zhuǎn)化和化歸思想引導(dǎo)下的另一種解題策略.

策略4數(shù)形結(jié)合法(數(shù)形結(jié)合思想)

對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生不僅要善于對(duì)題目的表面形式進(jìn)行觀察并發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)，而且也要善于挖掘條件和轉(zhuǎn)化其結(jié)論，把未知的條件或待求的結(jié)論化歸為已知條件或已知結(jié)論，綜合利用函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題.下面我們來(lái)看看本題的變式探究.

變式探究

在數(shù)形結(jié)合方法下，本題中求解λ+μ的最大值可改編成為：

變式2求λ2+4μ2+aλ+bμ+c(其中a,b,c為常數(shù))的最值.

解法：將λ2+4μ2+aλ+bμ+c化簡(jiǎn)如下：

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)復(fù)習(xí)備考中，恰當(dāng)?shù)牟捎米兪秸蠌?fù)習(xí)的教學(xué)手段，以基本問(wèn)題為載體，通過(guò)再生問(wèn)題進(jìn)行變式教學(xué)，以題根為基準(zhǔn)對(duì)一定幅度的知識(shí)進(jìn)行掃描教學(xué)，也是一種高效、有效的提升復(fù)習(xí)備考效率的手段，同時(shí)也是加強(qiáng)和鞏固對(duì)數(shù)學(xué)思想方法理解和應(yīng)用的重要手段.

策略5不等式放縮法(分類與整合思想)

在前4種策略背景下，觀察到條件為變量x,y的二次方程，而結(jié)論卻是變量x,y的一次表達(dá)式，故可聯(lián)想到是否可以利用柯西不等式求解？下面來(lái)看看思維過(guò)程.

綜上,λ+μ的最大值為3.

小結(jié)本例從多角度對(duì)試題進(jìn)行剖析，并在不同的解題策略中感悟和理解了不同數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，收獲不小.以上五種策略的闡述在高三復(fù)習(xí)備考中不僅有效培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握，而且也給出了高考中必考點(diǎn)：最值、范圍問(wèn)題的常用處理方法(即“函數(shù)法”“判別式法”“換元法”“數(shù)形結(jié)合法”“不等式法”)，可謂一舉兩得，極大地提高了高考復(fù)習(xí)備考的效率，讓學(xué)生更有學(xué)習(xí)的欲望和動(dòng)力，并提升了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、高考備考的信心.

下面我們?cè)賮?lái)看看高考數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題中對(duì)最值、范圍問(wèn)題的考查中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

解法一(雙變?cè)?，函?shù)思想)

解法二(不等式放縮法，分類和整合思想)

方向1構(gòu)造柯西不等式求解

方向2構(gòu)造重要不等式求解

由于a+b=5，故(a+1)+(b+3)=9，

當(dāng)然，該方法利用配湊的方式得到結(jié)論的整體表達(dá)式，技巧性較強(qiáng)，學(xué)生難于接受和理解.這里我們還是比較偏向于使用柯西不等式法，方法簡(jiǎn)潔明快，效果顯著.

解法三(代數(shù)換元法，數(shù)學(xué)結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想)

方向1(數(shù)形結(jié)合法，數(shù)形結(jié)合思想)

方向2(三角換元法，轉(zhuǎn)化與化歸思想)

令x=3cosθ,y=3sinθ，

解法四(判別式法，方程思想)

再如：

分析從實(shí)數(shù)x,y滿足的等式關(guān)系來(lái)看，分離出x，并將等式關(guān)系化簡(jiǎn)為x=f(y)的形式是極其困難且難以實(shí)現(xiàn)的.

解法一(函數(shù)與方程思想)

對(duì)方程兩邊平方，

方程變?yōu)?0t2-8xt+x2-4x=0(t≥0)，

故方程20t2-8xt+x2-4x=0有非負(fù)實(shí)數(shù)解，

所以x的取值范圍為{0}∪[4,20].

解法二(換元法，數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想)

在思路2的基礎(chǔ)上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知a,b滿足方程(a-1)2+(b-2)2=5(a,b≥0)，求a2+b2的取值范圍.

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)(a,b)和定點(diǎn)O(0,0)重合時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)間的距離為0；

當(dāng)然，全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題難度較大，不宜放到高三復(fù)習(xí)課上進(jìn)行講解.但從高考復(fù)習(xí)備考的角度，若將本題的結(jié)論改編為“求x的最大值”，則問(wèn)題的難度就降低了，這樣就比較適合對(duì)高三學(xué)生的訓(xùn)練和提升了.經(jīng)過(guò)改編后，本例不僅能夠從多維度提升學(xué)生的思維水平，而且也能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)最值問(wèn)題求解思路的深刻理解.在改編模式下，除了以上兩種解法外，還可以考慮不等式放縮法求最值，方法如下：

注意到右邊可利用柯西不等式進(jìn)行放縮，即

“一題連數(shù)點(diǎn)，多解顯本質(zhì)”.“數(shù)點(diǎn)”就是多種解題策略，而本質(zhì)就是數(shù)學(xué)思想方法.高考對(duì)引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要作用，要提高解題的能力和水平，首先應(yīng)該站在較高的觀點(diǎn)上去研究解題，從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上看待解題，在解題的過(guò)程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，在思想方法的引領(lǐng)下不斷創(chuàng)新解題思路.最終以不變應(yīng)萬(wàn)變，才是我們數(shù)學(xué)高考備考以及日常教學(xué)所追求的.