從兩道高考真題看“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的體現(xiàn)

湖南 羅禮明

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂版提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)，也是確保課程改革整體推進的核心.數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實的迫切性日趨引起重視，作為“指揮棒”的高考試題如何落實核心素養(yǎng)的考查？教育部教育考試院2017全國卷試題評價中總結(jié)到：“2017年高考數(shù)學(xué)試題以立德樹人、服務(wù)高校人才選拔、導(dǎo)向中學(xué)教學(xué)為命題出發(fā)點，加強對理性思維的考查，滲透數(shù)學(xué)文化，突出創(chuàng)新應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和理性價值，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，特別在數(shù)學(xué)課程和教學(xué)改革中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)有積極的導(dǎo)向作用.”本文以2017全國卷Ⅰ數(shù)學(xué)理科兩道試題為例摭談其“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的體現(xiàn).

案例1

一、題目再現(xiàn)

(2017·全國卷Ⅰ理·19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)．

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查．

(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，

則P(μ-3σ

二、規(guī)范解答

解析：(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為1-0.997 4=0.002 6，所以X～B(16,0.002 6)，故P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.X的數(shù)學(xué)期望E(X)=16×0.002 6=0.041 6.

(2)(ⅰ)如果一天生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有 0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

三、核心素養(yǎng)的分析與提煉

本題是概率統(tǒng)計的實際應(yīng)用，數(shù)學(xué)味道正，生活氣息濃，將知識、能力、思想、方法融為一體，解題關(guān)鍵在于讀懂題意，聯(lián)想所學(xué)知識，合理選擇運算策略.本題主要考查了統(tǒng)計與概率中的兩個重要的概率分布模型：二項分布和正態(tài)分布.綜合考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的應(yīng)用，要求對基本模型、基本原理和基本思想有深刻的理解.

1.會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，即接收外界輸入的信息，并對信息進行數(shù)學(xué)抽象與直觀想象.將現(xiàn)實生產(chǎn)中的產(chǎn)品抽樣檢測問題用合理的數(shù)學(xué)原理進行解釋；“這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)”用數(shù)學(xué)的知識來直觀理解就是“正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸99.74%合格”，即正常狀態(tài)下生產(chǎn)不合格零件是小概率事件，且X～B(16,0.002 6).

案例2

一、題目再現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點．

二、規(guī)范解答與核心素養(yǎng)體現(xiàn)

解析：(1)根據(jù)橢圓對稱性，必過P3，P4，

(直觀想象)

又P4橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過P1，所以橢圓過P2，P3，P4三點.

(邏輯推理)

(數(shù)學(xué)抽象)

(數(shù)學(xué)運算)

(2)①當(dāng)l的斜率不存在時，設(shè)l:x=m，

由題設(shè)知,m≠0,且|m|<2,A(m，yA)，B(m，-yA)，

解得m=2，此時l過橢圓右頂點，不存在兩個交點，不滿足題意．

(數(shù)學(xué)抽象)

②當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)l∶y=kx+b(b≠1)，

A(x1，y1)，B(x2，y2),

(直觀想象)

整理得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0，

(數(shù)學(xué)運算)

又kP1A+kP1B=-1，所以b=-2k-1，

此時Δ=-64k，存在k使得Δ>0成立.

(邏輯推理)

所以直線l的方程為y=kx-2k-1，過定點(2，-1)．

(數(shù)學(xué)抽象)

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及數(shù)學(xué)運算、邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為考查運算的合理、敏捷性，將運算技能與思維能力有機結(jié)合，重點考查算法與算理.橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質(zhì)，判斷點是否在橢圓上，可以通過這一方法進行判斷；證明直線過定點的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在情況，接著通法聯(lián)立方程組，求判別式、韋達定理，根據(jù)題設(shè)關(guān)系進行化簡.

啟示

在解答數(shù)學(xué)問題時，將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題、未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題、復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的過程中用到的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想只有在具體求解時才能發(fā)揮作用，經(jīng)歷解答的過程才能積累基本活動經(jīng)驗，而在問題解決中起決定性作用的卻是六大核心素養(yǎng).核心素養(yǎng)的三個方面，六個關(guān)鍵詞既獨立，又相互交融，形成一個有機整體.我們在日常教學(xué)中落實新理念，以核心素養(yǎng)為指向，幫助學(xué)生把一個個具體知識理解到位并能用于解決問題.